数字发展简史及虚数的诞生，代数、数论和物理学的基础

数字是我们一直在使用的东西，但我们很少注意到不同类型的数字，也没有想过它们的历史。日常生活中最常见的数字是数学家们正式称为自然数的东西。这些是非负数，即0、1、2、3、4等。在数学界有一些争论，0是否应该被包括在自然数的集合中。一般来说，这取决于你是一个数论家，还是在数学其他领域的工作者。自然数是用字母N表示的。

有一些我们使用的数字是生活在自然数之外的。我们经常遇到的另一个更大的集合是整数，包括正整数，零，以及负整数。整数集的符号是Z，来自德语的Zahlen。我们可以看到，自然数包含在整数中。当人们意识到他们无法用现有的数字做一些基本的算术时，创造整数就很有必要了，例如用5减去10。

扩大数字领域的下一步是添加分数（或小数）。同样，这是数字系统发展的一个逻辑步骤，因为我们显然需要一种方法来用数字解释一个整体的一部分。将分数加到整数集上得到的集合就是有理数。它们用Q来表示，这个符号来源于意大利语的quoziente，意思是 "商"。(商是分数的另一种叫法，有分子和分母的东西，即形式为x/y的东西，其中x和y是数字）。另外，理性来自于比例这个词，与分数密切相关。

我们现在已经有了三种数字系统，自然数、整数和有理数，这已经是能够满足我们日常算术需要的所有数字了。然而，对于一个科学家来说，这些数字是不够的。自古巴比伦时代起，人们就知道需要一个特殊的数字来计算一个圆的长度（或周长）。我们今天使用的公式是数字𝛑的两倍乘以圆的半径。求圆周率的第一个公式可以追溯到古巴比伦。那时，他们首先通过计算半径的平方并将其加到自己身上两次来计算面积。这让他们想到，应该存在一个数值在3左右的常数，用来计算面积和周长。我们今天知道的𝛑的实际值是3.14左右。

如今，𝛑已经成为数学的符号之一。在一些比赛中，人们试图记住并背诵尽可能多的𝛑数字，将人脑的极限推到了我们想象不到的地方。3月14日甚至还有一个国际圆周率日，以庆祝这个数字（也是人们吃派的一个借口）。

然而，𝛑并不属于我们上面定义的任何一种数字集，它既不是一个整数，也不能用分数表示。π的物理性的第一个证明是在1760年代由乔纳森-海因里希-兰伯特（Jonathan Heinrich Lambert）完成的，他是一位德国数学家、物理学家、哲学家和天文学家。这表明了另一个更大的数字集的存在。我们称这些数字为无理数，这个名字与有理数相对，也就是说，它们不能以分数（或有限小数）的形式表示。然而，它们不能独立存在，所以数学家不得不定义一个由有理数和无理数组成的更大的数集。我们称它为实数。实数的集合用R表示。此外，无理数包括有理数的所有根集，以及其他著名的数字如e。

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再次看来，数学家们通过定义实数集，已经拥有了他们需要的一切。然而，还缺少最后一块。没有任何数字在平方后会得到一个负数。如果我们将一个正数平方，我们得到一个正数。如果我们将一个负数平方，我们还会得到一个正数，因为负数乘以负数就是正数。因此，数学家们引入了一个新的数字，表示为i，其定义是它的平方是-1。这就产生了被称为 "虚数 "的新类型的数字，表示为I。16世纪中叶，当科学家们需要了解多项式方程的解法时，首次想到了对这种数。然而，直到1637年，勒内-笛卡尔才创造了虚数这个词。因此，一个新的基本数集被引入，称为复数ℂ。一个复数有两个部分，实数部分和虚数部分。数学家把复数写成a+bi，其中a和b是实数。这种表示方法告诉我们，实部的数值是a，虚部的数值是b。例如，2+3i是一个复数。由于数字有两个部分，我们可以把它们看作是平面上的点。

复数在现代数学的发展中起到了至关重要的作用。然而，它们在刚提出时在科学界引起了很多争议。有人反对它们，认为没有必要引入它们。复数的确很抽象，然而，如果没有它们，现代的大部分代数、数论和物理学就不会存在。而且，我们可能永远不会发展出四元数、八元数等，这是以后的话题了。