“极限”是高等数学中微积分的基础概念，是联结确定性和不确定性的微妙边界。

在学生时代，极限可以说是入门高等数学的第一个拦路虎。回想起来，那时候对这个概念的理解非常浅薄，或者根本没有理解。

本文试从几个角度浅谈下对“极限”、具体说是对“函数极限”这个概念的一些理解，欢迎大家讨论指正。

一. “极限”的通俗(广义)理解

在初等数学中，涉及的是精确的数值和运算。极限的语义，暗含了“不确定的趋势”之意味，意指“无限接近但永远无法达到”，这本身就是意识上的飞跃。

对于函数极限来说，f(x)在某一点 c 处的极限值，至少需要理解以下几点：

1.无限接近 c 点，但和函数在 c 点有没定义无关；

2.需要考虑从 c 点的两侧无限的逼近；

3.如果极限存在，函数值 f(x) 在 x 逼近 c 点的过程中，会呈现确定的趋势；

4.极限是一个无限的过程；但这个过程有一个永远无法到达的趋势。

二. 老实人的做法：无限逼近的数据表格

函数 y = x+1 在 x 无限逼近1的时候有什么情况发生？

这里首先要面对的是“无限逼近”这一说法。意识中的无限，当落实到纸面上时总有一个精度的问题。也许你觉得0.999...后面有几十位的9已经足够逼近1了，1.00...1中间有很多个0也是非常逼近1的，但其实这些数值和“无限逼近1”根本是不等同。

至少，这样的做法能给我们一个函数值的趋势：

在我们可接受精度的“无限逼近”下，函数值呈现出“无限逼近” 2 的趋势。

含糊其次的定义，从数学上虽说不够严谨，但对于概念来说未必不合时宜。函数 f(x) 在某一点 c 的极限值为 L，完全可以这样定义：

当 x 取值充分地逼近 c 时，f(x)的值会任意地接近 L。

这个定义说明了内涵，但确实不够正式。因为充分逼近，任意接近，这些都是含糊其辞的表达，但作为一种可记忆的简短形式还真是不错。

函数极限在什么情况下会不存在？从图像上可以想象出一些情景，比如：

这个函数在 x=1 处，发生了一次跳跃。当从 1 的左侧和右侧分别逼近时，趋势明显不一致。

这个函数在逼近 1 时，函数值没有一个有限数值的趋势。

那么，极限存在的典型情况呢？

不论从左右哪一侧逼近1，趋势都是明显的。从函数的图像上，可以直观的、先入为主的判断极限的存在与否。

既然对极限有了非正式的，直观的定义和理解，如何精确的定义它？现代数学对于极限是这样定义的：

f(x）定义在一个可能不包括 c 的开区间上，说 x趋近于 c 时 f(x) 的极限为 L，这意味着：如果对任意的 ε>0，存在相应的数 δ>0, 使得下式成立：

对比前述第三部分中“充分逼近”、“任意逼近”的定义，这个定义以精准的数学语言代替了语义含糊的自然语言。

任意接近 L

对于任意地 ε>0 ，关键在于“任意”，这保证了函数值与 L “任意接近”。ε 是任选的正数，它代表了我们对于精度的要求。也许在某些场景下，ε 取 0.1 就满足我对“任意接近”的要求。

充分逼近 c

在确定了 “任意接近 L”的精度后，能相应地找到一个(即可）正数 δ。点 c 为中心的 δ 临域内所有的 x, 其对应的函数值 f(x) ： L-ε < f(x) < L+ε

从函数图像上来说，极限的数学定义想表达的是什么呢？

三条水平线 L，L+ε，L-ε如上图，ε是任意选择，这代表了任意接近L的精度，不论你怎么选这个 ε 值，这是你认为的“任意接近L”。

在选定了 ε 之后，能找到 c 点的一个 δ 临域，如上图。在这个临域内的所有 x，其对应的函数值 f(x) 均在（L-ε，L+ε）的范围内，即满足你选定的 “任意接近L”。

怎么样，看了这么多角度的分析，你对极限的概念理解了吗？

欢迎大家讨论指正，也欢迎大家多多点赞关注～