宁夏丨中考数学经典内容训练突破——解决几何运动后产生的面积、线段问题

宁夏的中考数学题目对于难度先不做评价，整体的感觉比较怪，无重点，无可探究题目，在整个5年中考的考试里面，能拿出门对于全国中考数学做借鉴或者运用的只有试题的最后一题，而最后一题主要是几何运动产生的一些面积，线段等问题，这些知识的背后都隐藏这几何相似的重要运用，大家可以参考做一做。

实操真题讲解

1．（2020·宁夏）如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF（∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF＝，设三角板ABC移动时间为x秒．

（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；

（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？

【分析】

（1）解直角三角形ABC求得EF＝BC＝3，由题意可知CF＝x，可求AQ=√3/3x，MN=1/2x，根据三角形面积公式即可求出结论；

（2）根据“S重叠＝S△ABC﹣S△AMQ﹣S△BPF”列出函数关系式，通过配方求解即可．

【解答】

解：（1）解：因为Rt△ABC中∠B＝30°，

∴∠A＝60°，

∵∠E＝30°，

∴∠EQC＝∠AQM＝60°，

∴△AMQ为等边三角形，

过点M作MN⊥AQ，垂足为点N．

在Rt△ABC中，AC=√3，BC=AC·tanA=3

∴EF＝BC＝3，

根据题意可知CF＝x，

∴CE＝EF﹣CF＝3﹣x，

CQ=CE·tanE=√3/3（3-x），

∴AQ=AC-CQ=√3-√3/3（3-x）=√3/3x，

∴AM=AQ=√3/3x

而MN=AM·sinA=1/2x，

∴S△MAQ=1/2AQ·MN=1/2×√3/3x·1/2x=√3/12x²

（2）由（1）知BF＝CE＝3﹣x，PF=BF·tanB=√3/3（3-x），

∴

S重叠=S△ABC-S△BPF=1/2AC·BC-1/2AQ·MN-1/2BF·PF

=1/2×3×√3-√3/12x²-1/2（3-x）×√3/3（3-x)

=-√3/4+√3x= -√3/4（x-2)²+√3

所以当x＝2时，重叠部分面积最大，最大面积是．

【点评】

本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

2．（2019·宁夏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．

（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；

（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；

（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．

【分析】

（1）根据题意得到∠MQB＝∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；

（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；

（3）根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可．

【解答】

解：（1）∵MQ⊥BC，

∴∠MQB＝90°，

∴∠MQB＝∠CAB，又∠QBM＝∠ABC，

∴△QBM∽△ABC；

（2）当BQ＝MN时，四边形BMNQ为平行四边形，

设AM＝3a，则MN＝5a，

∴BQ＝MN＝5a，

∵MN∥BQ，

∴∠NMQ＝∠MQB＝90°，

∴∠AMN+∠BMQ＝90°，又∠B+∠BMQ＝90°，

∴∠B＝∠AMN，又∠MQB＝∠A＝90°，

∴△MBQ∽△NMA，

∴AM/BQ＝MN/BM，即3a/5a=5a/(3-3a)，

解得，a＝9/34，

∴BQ＝45/34，

∵MN∥BQ，BQ＝MN＝45/34，

∴四边形BMNQ为平行四边形；

（3）∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，

∴BC＝√AB²+√AC²＝5，

∵△QBM∽△ABC，

∴QB/AB＝QM/AC＝BM/BC，

即X/3＝QM/4＝BM/5，

解得，QM＝4/3x，BM＝5/3x，

∵MN∥BC，

∴MN/BC＝AM/AB，即MN/5=（3-5/3x）/3，

解得，MN＝5﹣25/9x，

则四边形BMNQ的面积＝1/2×（5﹣25/9x+x）×4/3x＝-32/27（x﹣45/32)²+75/32，

∴当x＝45/32时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为75/32．

【点评】

本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．

3．（2018·宁夏）如图：一次函数y＝﹣3/4x+3的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数y＝﹣3/4x+3（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP．

（1）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值；

（2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标．

【分析】

（1）先设出点P的坐标，进而得出点P的纵横坐标的关系，进而建立△OPM的面积与点P的横坐标的函数关系式，即可得出结论；

（2）分两种情况，利用等腰三角形的两边相等建立方程即可得出结论．

【解答】

解：（1）令点P的坐标为P（x0，y0）

∵PM⊥y轴

∴S△OPM＝1/2OM·PM＝1/2x0·y0

y0=-3/4x0+3代入得S△OPM=1/2x0(-3/4x0+3)=-3/8(x-2)²+3/2

当x0=2时,△OPM的面积，有最大值Smax=3/2，

即：PM＝2，

∴PM∥OB，

∴AP/AB=PM/OB

即AP=AB·PM/OB

∵直线AB分别交两坐标轴于点A、B，

∴A（0，3），B（4，0），

∴OA＝3，OB＝4，

∴AB＝5，

∴AP＝5/2；

（2）①在△BOP中，当BO＝BP时

BP＝BO＝4，AP＝1

∵PM∥OB，

∴AP/AB=PM/OB

∴MP=4/5，

将MP=4/5代入y=3/4x+3中，得OM=12/5

∴P（4/5，12/5）；

②在△BOP中，当OP＝BP时，如图，

过点P作PN⊥OB于点N

∵OP＝BP，

∴ON＝1/2OB=2

将ON＝2代入y=3/4x+3中得，NP＝3/2

∴点P的坐标为P（2，3/2），

即：点P的坐标为（4/5，12/5）或（2，3/2）．

【点评】

此题是一次函数综合题，主要考查了三角形的面积公式，等腰三角形的性质，用方程的思想和函数思想解决问题是解本题的关键．

4．（2017·宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥AB，PN⊥AC，M、N分别为垂足．

（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；

（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．

【分析】

（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，根据等边三角形的性质得到AB＝AC，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；

（2）设BP＝x，则CP＝2﹣x，由△ABC是等边三角形，得到∠B＝∠C＝60°，解直角三角形得到BM＝1/2x，PM＝√3/2x，CN＝1/2（2﹣x），PN＝√3/2（2﹣x），根据二次函数的性质即可得到结论．

【解答】

解：（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，

∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP，

∴1/2AB·CD＝1/2AB·PM+1/2AC·PN，

∴PM+PN＝CD，

即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；

（2）设BP＝x，则CP＝2﹣x，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，

∵PM⊥AB，PN⊥AC，

∴BM＝1/2x，PM＝√3/2x，CN＝1/2（2﹣x），PN＝√3/2（2﹣x），

∴四边形AMPN的面积＝1/2×（2﹣1/2x）·√3/4x²+1/2×[2﹣1/2（2﹣x）]·√3/2（2﹣x）＝-√3/4x2+√3/2x+√3/2＝﹣√3/4（x﹣1)²+3√3/4，

∴当BP＝1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是3√3/4．

【点评】

本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

5．（2016·宁夏）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题：

（1）设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；

（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．

【分析】

（1）可用x表示出AQ、BQ、BP、CP，从而可表示出S△ADQ、S△BPQ、S△PCD的面积，则可表示出S，再利用二次函数的增减性可求得是否有最大值，并能求得其最小值；

（2）用x表示出BQ、BP、PC，当QP⊥DP时，可证明△BPQ∽△CDP，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，可求得x的值．

【解答】

解：

（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝3，

当运动x秒时，则AQ＝x，BP＝x，

∴BQ＝AB﹣AQ＝3﹣x，CP＝BC﹣BP＝4﹣x，

∴S△ADQ=1/2AD·AQ=1/2×4x＝2x，S△BPQ=1/2BQ·BP=1/2（3﹣x）x=3/2x-1/2x²，

S△PCD=1/2PC·CD=1/2·（4﹣x）·3＝6-3/2x，

又S矩形ABCD＝AB·BC＝3×4＝12，

∴S＝S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△PCD＝12﹣2x﹣（3/2x-1/2x²）﹣（6-3/2x）=1/2x²﹣2x+6=1/2（x﹣2）²+4，

即S=1/2（x﹣2）²+4，

∴S为开口向上的二次函数，且对称轴为x＝2，

∴当0＜x＜2时，S随x的增大而减小，当2＜x≤3时，S随x的增大而增大，

又当x＝0时，S＝6，当x＝3时，S=9/2，但x的范围内取不到x＝0，

∴S不存在最大值，当x＝2时，S有最小值，最小值为4；

（2）存在，理由如下：

由（1）可知BQ＝3﹣x，BP＝x，CP＝4﹣x，

当QP⊥DP时，则∠BPQ+∠DPC＝∠DPC+∠PDC，

∴∠BPQ＝∠PDC，且∠B＝∠C，

∴△BPQ∽△CDP，

BQ/PC=BP/CD，即(3-x)/(4-x)=x/3，

解得x=(7+√13)/2(舍去）或x=（7-√13)/2，

当x=(7-√13)/2时 QP⊥DP

【点评】

本题为四边形的综合应用，涉及知识点有矩形的性质、二次函数的最值、相似三角形的判定和性质及方程思想等．在（1）中求得S关于x的关系式后，求S的最值时需要注意x的范围，在（2）中证明三角形相似是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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