神奇的等宽曲线

情况1：平时我们看见的汽车轮子、火车轮子及各种车的轮子都是圆形的。因为轴离地面接触点的距离总是相等的，所以车行驶起来就平稳，从而我们想到车的轮子都是圆的。

情况2：当我们把一箱重物放在一些断面直径相等的圆棍或圆管上移动时，既省力又平稳，是不是只有圆棍、圆管才能起到这个作用呢？

情况3：我们看到茶壶盖子都是圆形的，这是因为茶壶盖只要比茶壶口大一点，总是不会掉进茶壶的。如果用其他正多边形盖子(如正方形)，若它只比茶壶口大一点的话，一不小心，盖子就会掉进茶壶里。因此茶壶的盖子必须时圆的。

1. 等宽曲线

对以上三种情况，其实结论都下得太早了，有一种圆弧三角形(亦称莱洛三角形)就可以完全替代圆。

这种圆弧三角形是以正三角形ABC的三个顶点为圆心，以它的边长AB为半径作出的。这种圆弧三角形与圆有着相同的特点：从什么方向用两条平行线去夹它，这两条平行线的距离总是一样的。我们称具有这种性质的图形叫做“等宽曲线”(或等宽图形)。

可知圆与圆弧三角形都是“等宽曲线”。故而圆弧三角形也具有以上所说的圆的三种功能。

2.莱洛三角形与圆的相似处

圆弧三角形又称莱洛三角形，是由机械学家、数学家莱洛首先发现的，故而得名。宽度为a的莱洛三角形是以正三角形的边长为a所作出的圆弧三角形，它与直径为a的圆具有相同的宽度。将它们放在一个边长为a的正方形内旋转，与正方形有且仅有一个公共点，且两对边的公共点的连线是互相垂直的。

再一个相似处是同宽度的莱洛三角形与圆有相同的周长：

宽度为a的莱洛三角形周长=3×2πa÷6=πa，

直径为a的圆周长=2π×a÷2=πa。

3.莱洛三角形与方孔钻头

由于莱洛三角形在一边长为其宽度的正方形内转动时，任何时候都有四个点与正方形的四条边接触(不一定相切)，且接触点的位置是不断改变的，因而成了机械学家莱洛设计方孔钻头灵感的来源，而促使他发现了圆弧三角形和造出了方孔钻头。

自然，这种圆弧三角形的钻头钻出来的不是标准的正方形，而是如下动图中的圆角正方形。因为来洛三角形的中心即正三角形的中心，所以当莱洛三角形钻头转动时，它的中心也不像圆钻孔那样固定不变的。下动图不仅显示了莱洛三角形中心的运动轨迹，同时也展示了方孔钻头的工作原理：

4.有其他的等宽曲线么？

由莱洛三角形的启发，可知还有更多的等宽曲线，如以正五边形ABCDE的五个顶点为圆心，以对角线AC的长为半径画五段圆弧，就可以作出一个圆弧五边形，它便是一个宽度为a的等宽曲线。

类似的，还可以作出圆弧七边形、圆弧九边形......等等，得到各种“莱洛多边形”，它们都是等宽曲线，但是，如果你想用边数为偶数的正多边形作出一条等宽曲线，已经被证明是不可能的了。

上面所说的都是正多边形组成的等宽曲线，其实，只需对角线相等而边长不一定相等的奇数边多边形，都可形成等宽曲线。

在等宽曲线的所有性质中，最美妙的莫过于由数学家巴比埃在1860年所发现的一条定理：所有宽度为a的等宽曲线都有相同的周长πa，也即是都等于直径为a的圆的周长。