知其然，知其所以然---浅谈一道课后习题的教学与思考
2
本期的内容有哪些
听一听：小学数运算教学存在的问题
读一读：知其然，知其所以然---浅谈一道课后习题的教学与思考
玩一玩：不说3，6，9
3
轻轻松松听听书
——节选自叶澜《“新基础教育”数学教学改革指导纲要》
4
坚持阅读八分钟
知其然，知其所以然
---浅谈一道课后习题的教学与思考
一、问题来源及学情分析
四上数学书50页12题，用0、2、3、4、5组成三位数乘两位数的乘法算式，你能写多少个呢？你能写出乘积最大的算式吗？
孩子们在三年级时接触过简单的排列组合，对具体形象的事件能通过列举等方法得出结论，但这一题要将5个数字进行排列，且组成具体数时还要考虑0的位置，这远远超过了他们的认知水平，而且第一题的解决对第二题解题没有太大帮助，再加上四年级学生，正是小学学习从低年级向高年级的过渡期，孩子们从过去直观形象思维转变为抽象的分析，从被动的学习转变为主动学习，思维能力的发展正处于转折时期。如何引导学生学会思考并用正确的方法进行推理，是我们教学的重中之重，所以我把教学侧重点放在第二个问题，希望学生通过推理找到乘积最大的式子，并能举一反三，利用找出乘积最大式子的方法来找出乘积最小的式子，同时探讨有0时又将会出现怎样的变化。基于以上的认识，也为了更好地解决问题，于是我将题中的0改成了1。用1、2、3、4、5组成三位数乘两位数的乘法算式，你能写出乘积最大的式子吗？
二、学生现状及错因分析
在没有任何提示的情况下，我将此题拿去让两个班的80名孩子去完成，发现有4种错误，对于每一类出现的错误，我分别让学生说一说他们的想法，如下表：
不难发现，尽管孩子们都做错了，但每个孩子的知识水平是不同的，层次1是水平最低的孩子，而层次4是水平最高的孩子，如何引导孩子找到正确的式子，我在教学时，按照学生出现的错误从最低水平开始逐个击破一步步推理得到正确的式子。
三、问题解决的实践与反思
(一)应用推理，解决“乘积最大”问题
1、利用数位，推理算式范围
我尝试将前3类错误的孩子，先引导到第4类上，再通过计算推理等方式，找出乘积最大的式子。教学中我采用对乘法意义的复习和估算来帮学生理解。数字1000比数字1大的多，而1000×2却比1×10000小，这是为什么呢？1×10000表示10000个1，而1000×2表示2个1000，让学生感知比较积的大小，两个因数都很重要，并不是一个因数大，积就大，这就说明了543×21不一定合理。
那么543×21到底是不是乘积最大的式子呢？在这里让学生尝试估算这个式子的乘积一定比哪个数小。学生根据已有的经验不难得出乘积一定比18000（600×30）小，有些孩子能更精确地说出比12600（600×21）小，在此基础上继续追问有没乘积更大的呢？怎么做才能乘积更大呢？得到结论要想乘积大，就要把大的数放到高位上，所以两个因数的最高位是5和4，顺着学生的思路接着提问，那么两个因数的第二高位应放哪两个数字呢？不难得出第二高位应该放的是数字3和2，按照刚才的思路会发现两个因数最高两位相乘的式子可以为；52 ×43，53 ×42，
43 ×52，42 ×53，1的位置没有疑问一定是有三位数的个位，受数的大小影响，孩子们仍会觉得三位数大乘积才大，所以他们认为531×42是乘积最大的式子。
2、应用规律，推理正确式子
（1）推理排除两个式子
指着这些式子（52 ×43，53 ×42，43 ×52，42 ×53），请学生仔细观察，这4个式子哪个结果最大，第一反应52 ×43和43 ×52结果一样，53 ×42和42 ×53结果也一样，继续追问哪一组式子积更大，孩子们在三年级的时候接触过大量的和相等的两数相乘习题，它们的差越小，积越大。尽管时间长了有孩子会遗忘，但逼问时，慢慢会发现上面4个式子的将三位数的个位去掉，显然就是我们认识的和相等两数相乘的模型，52与43更接近，最高两位应是43和52。那1该放在哪个数的后面乘积才最大呢？乘积最大的式子应为521×43还是431×52? 只有两个式子即便通过计算也大大降低了难度。
（2）推理找出正确式子，并初步感知乘积最大的规律。
521×43和431×52这两个式子，520×43和430×52积是一样的，而1×43 比1×52小，所以431×52乘积更大。回过头来观察521×43和431×52，引导发现431与52的差比521和43的差小，它们的乘积反而大，尽管它们的和不相等，但仍是差小的积大。（初步感知这样的式子差越小，积越大）
（3）反复例证，总结方法。
题目要求：比一比每组中哪个式子乘积较大，你有什么发现吗？
引导学生通过观察和简单计算得到结论像这样最高两位数字一样时，两数差小的积反而大.。
用5个数字组成三位数乘两位数乘积最大的式子首先将数按大到小从两个数的高位依次摆到低位，最小的数放在三位数的个位，且要使最高两位的差要小，组成的三位数与两位数的差也要小。如图：
（二）举一反三，探求乘积最小的式子
题目：用1、2、3、4、5组成三位数乘两位数的乘法算式，你能写出乘积最小的式子吗？
与找乘积最大的式子思路是一样的，但要将小的数从高位开始摆，得到13 ×24，14 ×23，24 ×13，23 ×14，最大数5摆放在三位数的个位，要使乘积尽可能的小，两个因数的最高两位的差就要越大，24与13的差更大些，他们的乘积就小，最后还要使组成的三位数与两位数的差越大，这样的式子积越小，所以乘积最小的式子应为245×13
用5个数组成三位数乘两位数乘积最小的式子： 首先将数按小到大从两个数的高位依次摆到低位，且要使最高两位的差要大，组成的三位数与两位数的差也要大。如图：
（三）拓展练习，处理有0时两数积问题
1、处理有0时乘积最大的式子
题目：用0、2、3、4、5组成三位数乘两位数的乘法算式，你能写出乘积最大的式子吗？
0一定是5个数中最小的数，乘积最大的式子并不受影响，只是摆好两个因数前两位时，0不管放在哪个数的后面，乘积都一样，所以乘积最大的式子有两个，520×43与430×52。
有0时方法与没有0时一样，也是按大到小从两个因数的高位往下摆，且要使两位因数的前两位差尽可能小，0只要摆到三位数的个位即可。
或
2、处理有0时乘积最小的式子
题目：用0、2、3、4、5组成三位数乘两位数的乘法算式，你能写出乘积最小的式子吗？
有0时， 最小数0不能摆在最高位，所以这里的两个最高位要摆除了0以外最小的两个数，最小数0只能摆放在第二高位，最大数仍在三位数个位，得到乘法算式205×34，245×30， 345×20，34与20的差较大，345×20的差也较大，所以乘积最小的式子为345×20。不难发现有0时组成三位数乘两位数乘积最小，两位数就是由最小的两个数字组成的，三位数由另外三个数字组成最小的三位数。
四、实践后的反思
数学学习中像这样的习题还有很多，如何去教学这些学生感到熟悉但又不太容易解决的问题，需要我们每个教师去思考，并发挥自己的课堂组织者的作用，引导学生利用学生已有的知识水平和经验，将题目化繁为简，化难为易，从而使问题得以解决。
5
玩一玩
不说3，6，9
游戏规则：
3人一组，第一个人说：“1，2”，第二个人就接着说：'4，5'照此说下去，不能说出含有3，6，9的数字和它们的倍数。
本期审核：鲁孟军 刘琦