这道题太逆天了，沈阳中考数学填空，巧妙运用位似才能解

这道题据说是今年，沈阳中考数学填空题的第2小题，按理来说，这个位置上的填空题应该是秒杀级别的，但是老黄不仅秒杀不了它，甚至一开始得出来的答案还带有蒙的性质。写出来和大家探讨一下。看看聪明的您能不能找到更完美的方法。主要采用初中的知识，用一点高中的知识也可以，但不能主要使用高中的知识。

如图, 在矩形ABCD中, AB=8, BC=6, E为直线BC上的一个动点, 连接DE, 将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC’E, 点M为线段BC’上的点, BC’=5BM, 当AM取最大值时, 求∠BAM的正切值______.

分析：首先，初中阶段关于线段的最大值，要么通过二次函数的顶点式求得，要么根据“点到圆上最大距离过圆心”等几何方法得到。

由于M点实质上也是一个动点，因此有它的运动轨迹，结合上面的分析，M点的轨迹大概率是一个圆。但此处老黄一开始无法证明。所以说，最后的答案带有蒙的性质。不过我没有放弃，还一直考虑，最后终于让我想通了。因为点C’的运动轨迹是一个圆，DC'定长嘛，这个圆的圆心是D。而点M的运动轨迹与圆D关于B点位似，位似比是1/5. 所以点M的运动轨迹也是一个圆。

既然这样，求出这个圆心，记为O，就成为问题的关键了。我们可以以D点为原点建立直角坐标系（这是原题的图上有提供的，因为画图麻烦，所以被我省略了，因此这里要重新交代）

然后取一些特殊情况，来得到M点的坐标，从而求圆心O点的坐标，问题就可以解决了。

第一种特殊情形是点C，C'，E三点重合时，即没有发生题干中所说的翻折时，也可以认为是翻折角度等于0度时，点M在BC上，此时根据BC’=5BM，可以得到M点的坐标为(8,24/5)。

注意，BC与圆O相切，因为M点不可能有第二种在BC上的情形，而M点就是切点，所以圆心O在直线y=4.8上，即O点的纵坐标是4.8. （根据直径与切线互相垂直于切点）

又圆O的半径是圆D的半径的1/5, 即圆O的半径为CD/5=8/5, 所以圆心的横坐标为8-8/5=32/5. 即O(32/5, 24/5).

因此所求的tan∠BAM=(6-24/5)/(32/5)=3/16.

幸好这只是一道填空题，所以还能应对。假如是一道解答题，恐怕很少人能够解出来。关键是不知道怎么证明点M的轨迹是一个圆。现在老黄知道了，这叫瓜豆原理。

终于找到秒杀的方法，如下图：