从一道被调侃的奥数题，谈到数学思想的渗透 ——树人学校校长王山泉访谈录（九）

张建安：小学奥数一度受到抨击，你怎么看这个事情？

王山泉：前几年，奥数被抨击的时候，有一期周立波的栏目，他也来调侃奥数，还举了一个例子。

有个孩子在学校或者在辅导班，老师给他布置作业，其中一道题是煎饼题。题目的大意是：有一个平底锅，要煎三张饼，每张饼都要煎它的正面、反面，煎好每一张饼的一面都是需要一分钟，正面一分钟，反面一分钟，这个平底锅最多同时能放两张饼，问：要把这三张饼全部煎好，最少需要多长时间？

周立波当时对这个问题的讲述和理解是这样的：他说孩子回家以后，不会做这个问题。就问他爸爸，他爸爸是一个博士，所以就由博士来做这道题。结果弄了一个晚上，到了深夜也没有把这个问题解出来。

然后，周立波就调侃说，连博士爸爸半夜都弄不明白的题，让一个孩子去弄，这不是瞎来吗。这样对孩子是不适合的，是拔苗助长的，是有害的。

其实这个问题要看你怎么去理解。任何一个问题我们都要从不同的角度来看，就看你怎么来用。很多问题都是双刃剑，就看我们怎么来看待它，怎么来用它。

对于这个问题，怎么来教孩子思考，对孩子的影响是不一样的。

如果从周立波的角度来讲，博士父亲都做不出来，你让孩子去做，这当然是不适合的。简直是一种毒害。对吧？

奥数那么大面积的被人抨击，受到那么大的抨击，一定是它给家庭和孩子带来很多困扰，负面的东西太多了，所以要抨击，激起强烈的反响。而我们作为一个数学老师，这个时候我们首先要反思自己是不是有责任？作为数学的传播者，很多老师做得是不是恰当？

就拿煎饼这个问题来说，其实是一个很好地向孩子渗透数学思维的问题。这个问题本身是没有任何毛病的，而且，这个素材太好了。

张：很形象？

王：不是很形象。这个是不是生活当中的问题？一个三四年级、七八岁十来岁的孩子，他有没有见过煎饼？不陌生。

数学首先是生活当中的数学，与我们的生活息息相关，随处可见。道不远人，很多离他很近很近的东西，但是他平常没有注意过，没有观察过，视而不见，从这些里面提出数学问题，能够很好地培养学生的数学素养。

现在，我们静下心，来想这个煎饼的问题。这个要问什么问题呢？就是要把这三个煎饼全部煎了，最少用多长时间？

这其实是一个什么问题呢？是一个最优化的问题。时间最短、效率最高的问题。

很多老师讲这个问题的时候，就是指着学生说：“你会不会？几分钟？四分钟？不是？你看，这样，还可以再少，三分钟就可以了。这样算，这样算，是不是三分钟？所以最少三分钟。”

张：只教学生怎么做这道题，会做了就可以了，不管背后的道理。

王：这有什么意义呢？老师这样去教学生，跟那些玩杂技的有什么差别呢？如果这样，老师、学生、家长就都体会不到数学的价值。

一个基本的思想，就是我们一定不要从这些琐碎的地方着手，不要从具体怎么做、怎么做入手，那就麻烦了。我们需要跳出来看待这个问题，从整体的方向去想，它是一个最值问题、最优化的问题，能很好地进行数学思想的渗透。

张：怎么渗透呢？

王：从解决这个问题，要让学生感受这种思想在解决问题时的力量。

我们可以这样来想，把这三个饼全煎好，时间最短。这是一个最优化的问题，最节能，所用资源最少。这个问题问的是最少用多少时间。时间是不是很大的资源？这一个平底锅的空间，是不是一个资源？煎饼的时候要用火，是不是要用能源？时间长了就多用能源。这就涉及到你有没有优化的思想。

现在我们手头所有的就是这个平底锅，要想效率最高、时间最短，就要充分地利用资源。这就是最大化的问题。

所以，你只要最大化地利用它，效率自然也就最高；而效率最高，时间就会最短。

一般的学生，第一次解决这个问题时会这么想：这个平底锅可以同时放两个饼，第一次同时放进去，正面煎完煎反面，正面一分钟，然后翻过来再煎一分钟，这两个饼就全部煎好了，需要两分钟。还有一个没煎，接下来，只能把这个正着煎一分钟，反着煎一分钟，然后第三个也就煎好了。这是一种正常的思路。结论便是需要四分钟。

这个时候，有的老师就会讲：这样不对。应该这么想：一开始，同时把两个放进去，拿出来，这是第一分钟；然后把第二个饼拿出来，把第一个饼翻过来煎它的反面，把第三个饼的正面放进去，这是第二分钟。再接下来，就是把第三个饼翻过来，同时把第二个饼的反面放进去。这样，三分钟就好了。

这样一教，学生也就都知道了。但是为什么要这样呢？不再思考了。没有从总体的数学思想的指导下去思考。

首先，在日常生活中，正常人的思路，往往是一开始把一号饼、二号饼同时放进去，煎完正面再煎反面，前两个饼这样煎，没有任何问题。但是第三个饼放进去单独煎就有问题了。这是通常的做法，很多同学没有从中捕捉到问题。

怎么样对这个问题进行反思呢？这就是一个要智慧的地方，是一个分水岭，是一个可以区别经师还是人师、平庸还是卓越的地方。

如果你只是就那道问题去解决，即便解一百个问题、一千个问题，对学生思维的启发意义不大。

所以，我们要思考，我们总的思想是要让时间最短，既然最短，资源的利用率就要最大化。资源是什么呢？就是那个锅的空间。这个锅本来可以同时放两个饼，煎两个面的，可是，如果第三个饼只是单独放进去，空间的一半就浪费了，资源是不是就没有充分利用？利用率是不是就没有最大化？没有最大化，效率就不可能最高，时间也就不可能最短。这就注定了这个问题没有去充分思考。

我们再想想：一分钟可以煎两面，总共是六面，从逻辑上推，六除以二，三分钟。但是实际操作时遇到了障碍，遇到了问题。第三个放进去的时候，它也是剩两面，只不过剩的是它的正面和反面，但实际上又不能把它的正面和反面同时放进去。所以，如果可以同时来煎的话，问题不就解决了吗？

如何解决呢？接下来怎么思考？给它倒推。我们第一分钟放两个饼进去的时候是没办法变动的。这是没有选择的。但是第一分钟两个正面煎好之后，我们再来想一下，这个时候还剩下几个面？还剩四个面。剩第一个饼的反面和第二个饼的反面，还剩第三个饼的正面和反面。我们简称它们为1反、2反、3正、3反。

这样一来，组合的数学思想就用到了。

第一分钟我煎的是1正和2正，剩下来的四个面该怎么放？我们正常的做法是把1反、2反放进去。但为什么不行呢？因为如果把它们两个放进去以后，最后就剩下3正和3反，这两个面同时是一个烧饼的正面和反面，自然不能同时放在锅里。

既然不能放在一起，那么，把它俩断开不就行了？

一断开，就是重新组合。只要选了两种为一组，剩下两种自然就是另一组了。

这时候我们就可以把组合的思想渗透进去。1反、2反、3正、3反，两两组合，它的组合方式会有几种呢？

如果我用1反来组合，有这样三种组合方式：把1反和2反放在一起，那一组就是3正3反了；把1反和3反放在一起，那剩下的2反和3正就是一组了；1反和3正放在一起，剩下的只能是2反和3反。

这三种情况，1反2反放在一起，剩下的肯定不行。那1反和3反、3正和2反放在一起，这没问题。1反和3正放在一起，也没问题。只有第一种不行。

它是这样一个问题，如果有老师这样讲，你认为孩子会听不懂吗？

张：一个是最优，一个是倒推，然后是组合，还有排除。整体来说，也是一步一步格物的过程。

王：我对很多学生都是这样训练的。一个孩子掌握了数学思想，对他一生都是有用的。如果那个孩子的博士爸爸，他有这样的思维，难道不能把这个问题搞明白吗？

张：其实就是一种思维方式。

王：就是多快好省（数量多，速度快，质量好，成本省）。这种思想是很有价值的。

张：要是有思想，就很有能力了。

王：对呀。很多地方都要用到这个。

张：那个爸爸都已经是博士了，竟然不会做这道题。这也是现实。

王：他这个博士，真想不明白。而这个问题本身没错。当然，这个博士想让他的孩子将来拿博士，如果按照他那个方式，即使他儿子拿了博士，跟他这个博士也是一样的。所以，我们一定通过这些问题进行思考，通过这样的问题来引发学生如何去思考，从而激发学生的智慧。

王山泉：河南尉氏树人学校校长。全国“希望杯”数学竞赛优秀园丁，华罗庚金杯少年数学邀请赛优秀教练员，中国数学奥林匹克一级训练员。讲课风趣幽默，不只教方法，更重讲思路；不只教你怎么做，更要教你怎么想。

张建安：曾任全国政协《纵横》杂志主编，中国文史出版社编辑部主任，央视百集纪录片《中国通史》总集撰稿，央视法律讲堂“始皇遗嘱密码”主讲人，央视“人物”栏目《教育家张伯苓》编导。出版《中国古代哲学》、《文化名人的最后时光》等二十余本专著；编《现代大学校长文丛·蔡元培卷》等书。