巧解二元/三元一次方程组

常见的二元一次方程组的解法为代入消元法和加减消元法两类，其解题思路是转化的思想，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。

常见的三元一次方程组，根据方程组中每一个方程的字母个数或者字母系数，确定消元的字母。但是很多时候，有一些方程组可以用更加巧妙和简便的方法进行解决。

如方程①和方程②用代入消元法计算，方程③和方程④用加减消元法计算。通过观察，当某个方程中某个未知数的系数为1或某个未知数用另一个未知数表示时，常常使用代入消元法解决；当两个方程中某个未知数的系数相等或互为相反数或使用代入消元法计算复杂时，常常使用加减消元法解决。

方程①中的第一个方程得到x，代入第二个方程求得y，再代入第三个方程求得z；方程②中的第一个方程只含有x和y，因此可以将第二、三个方程相加消去z，转化为含x、y的二元一次方程组；方程③中的字母c系数一致，因此可以用第一个方程减第二个方程，第二个方程减第三个方程，得到关于a、b的二元一次方程组；方程④中没有系数相同或互为相反数的字母，因此可以通过将方程一和二相加，方程二与方程三乘以5后相加，得到关于x、y的二元一次方程组。

三元一次方程组的关键也是消元，根据方程的特征选择合适的消元方法。通过消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，以上就是常见的4种三元一次方程组解法的题型。

对于上述的方程组，我们可以用“换元法”和“设k法”进行计算。通过观察方程组中某一项的系数特征，选择合适的方法简化运算。

分析：甲看错了字母a，因此甲得到的方程的解满足含b的方程；乙看错了字母b，因此乙得到的方程满足含a的方程。将这两个方程组合可以得到正确的a或b的值。

      分析：此题就是典型的“设k法”，题目中出现比例或比值的形式，往往会选择利用“设k法”解决问题。

      分析：此题是解一个不定方程的正整数解，通过观察系数可知，可以用含字母y的代数式表示x和z。由于是求这个方程组的正整数解，因此可以通过确定y的范围来确定正整数的取值范围。

对于解方程组来说， 不论是二元一次方程组还是三元一次方程组，代入消元法和加减消元法是首先的方法。但是对于一些比较复杂或者运算量较大的方程组时，我们可以通过整体换元法或者设k法简化运算过程。对于不定方程，看清题意，到底是求整数解、负整数解、正整数解还是非负整数解，同时选择恰当的未知数进行变形，简化运算。