与相似三角形相关的压轴题(4)

在相似三角形的压轴题中有许多A型、X型辅助线添线的问题，本节就2道此类型的题目作一个汇总和小结。

📌分析：本题的第1问，利用方程思想，通过设BC=BD=x，在Rt△ABC中利用勾股定理求解，求出BC的长，继而再求出sinA的值。

📌分析：本题的第2问，要求∠BPD的正切值，即需要求出CP的长。而本题是典型的“燕尾三角形”，因此可以通过过交点构造平行线。

📌总结：本题的第2问的解法1、解法2和解法3，通过过点C或A构造平行线，构造了2次A型和X型基本图形，得到了点C为BP的中点，求出CP的长度，本题就迎刃而解了。

📌总结：本题的第2问的解法4和5通过作高的方式添加了平行线，但相较于前三种解法就略显得复杂，因此合理添加辅助线是简化计算的方式。2020年中考25题的第(3)问及2019年中考25题的第(2)问都涉及了添加辅助线构造A型或X型，可以通过以下的链接进行进一步的学习。(2020，2019）

2019上海中考25题(2)部分添线赏析：

2020上海中考25题(3)部分添线赏析：

📌分析：本题的第3问，对于等腰三角形的存在性问题进行分类讨论，通过计算确定其存在性。

2010上海中考数学题链接：

📌分析：本题的第1问是在特殊条件下的，即∠B=30°的情况下成立的，因此重新画一幅标准的参考图是极其重要的。同时虽然有了圆A这样的背景，但是圆A带给我们的条件就是AD=AE=1，因此去除无关条件，呈现最纯正的图就显得尤为重要。此时可以得到△ADE是正三角形，即∠P=∠B=30°，此时BD=DP，因此△AEP与△BDP相似有且仅有AE=EP的情况。

📌分析：本题的第2问与例题完全一致，此处不赘述了。本题的第3问紧扣第2问求得的tan∠BPD，因此通过作垂线构造△ADQ∽△ABC，用含x的代数式表示△ABC的周长，继而得证。