每日一题349：一道大学生数学竞赛连乘通项常值级数敛散性的判定及推广证明
练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习349：(1) 研究级数的绝对收敛性.
(2) 设，证明以下两个级数都绝对收敛：
(3) 证明以下两个级数都绝对收敛：
先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！
练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习349：(1) 研究级数的绝对收敛性.
(2) 设，证明以下两个级数都绝对收敛：
(3) 证明以下两个级数都绝对收敛：
【说明】：其中第(1)题为2020年全国大学生数学竞赛河南省决赛（数学类A、B卷）的第八题，(2)(3)题是对该题的推广性的结论。试题及参考解答由陈老师分享，在此表示感谢。试卷完整内容及详细参考解答参阅如下两个推文：
【参考解答】：(1) 记，由
与平均值不等式，有
注意到，对
0" data-formula-type="inline-equation" style="">，当时，有
进而，有
由此可知，当时，有
所以
再注意到 1" data-formula-type="inline-equation" style="">，利用根值（或比值）判别法可知，正项级数收敛，从而原级数绝对收敛.
(2) 重复上面的证明过程可知，，当时，有
注意到 1" data-formula-type="inline-equation" style="">和收敛性可知，绝对收敛.
下证：的绝对收敛性.
记，利用平均值不等式，有
注意到，对
0" data-formula-type="inline-equation" style="">，当时，有
进而，有
由此可知，当时，有
所以绝对收敛.
(3) 由
利用正项级数的比较判别法知，两个级数都绝对收敛.
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