如何证明 e 和 π 是无理数？
让我们从“无理数”的词源开始：
当然 irrational 在英文中主要还是“非理性”的意思，所以中文将 irrational number 翻译为“无理数”。“无理数”这个翻译还是有一点道理的，毕竟要理解、证明某个数是「不可比数」还是挺困难，本文就来看几个著名无理数的证明过程。
希帕索斯是用反证法来证明 不是有理数的。假设 是有理数，那么必然可以写作两个互质的正整数（即两者的公因数只有 1 ） 、 之比：
将两边平方后可推导出： 所以可以设 （ 为某整数），继续上面的推导： 、 都是偶数，与两者互质的假设矛盾，所以 不是有理数，只能是无理数（实数不是有理数就是无理数）。这也是世界上的第一个无理数。
2.1 思路
还是用反证法，假设 是有理数，可以写作两个正整数之比：
上式两侧同时乘上 （ 为某个足够大的正整数）可得（1）式： 很显然（1）式右侧必然为整数，如果左侧不为整数的话那么就说明（1）式不成立，从而说明我们的假设是错的，从而说明 不是有理数。这就是整体的思路。
2.2 证明
下面就来证明（1）式的左侧 不是整数。在微积分中， 的定义式为： 根据（2）式可得： 那么“ 是否为整数”就变为了“上述等式的最后一项是否为整数”。令最后一项等于 ，对其进行不等式缩放可知： 所以当 足够大时（ 是可以自由挑选的），必然有 ，此时 必然不为整数，因此：
圆周率在 2000 多年前就已经出现了，但真正被证明为无理数却只有 200 多年的历史，这从侧面说明了证明的不易。第一个证明是在 1761 年由瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯（Johann Heinrich Lambert）通过连分数给出的。本文要讲述的证明是美国数学家伊万·尼云 (Ivan M. Niven）在 1947 年给出的：
个人觉得该证明是相对易懂的。
3.1 思路
还是用反证法，证明思路大致如下：
（1）假设圆周率 是有理数： （2）根据 、 构造函数： 其中 为正整数。有的同学喜欢追问为什么要这么构造，我觉得这是大师经过无数次反复思考之后的神来之笔，就好像绘画、音乐中的灵光一现，很难去解释思路上的来龙去脉。
（3）根据上述的假设和构造，可推出两个结论： 很显然“结论 1”和“结论 2”是矛盾的，因此我们的假设错了，因此 不是有理数只能为无理数。
3.2 的性质
容易证明，上面构造的 有如下性质：
（1） ，这点很容易证明，代入即可： （2） 可以改写为级数的形式： 其实就是将 根据二项定理展开，就可以写成级数的形式。
（3）根据上面两个性质容易证明： 至此做好准备了，可以分别去证明“结论 1”和“结论 2”。
3.3 “结论 1”的证明
再构造函数： 很容易求出： 所以： 因为 在 和 时为整数，所以 和 为整数，所以证明出了“结论 1”：
3.4 “结论 2”的证明
当 时，有： 所以： 同时进行积分： 进而推出： 其中 是一个无穷小，所以在 足够大时，其必然趋近于 0，从而“结论 2”成立： “结论 1”和“结论 2”都成立，导出矛盾，因此 不是有理数只能为无理数。