每日一题348：一道幂函数与指数函数乘积的广义积分级数求解方法及问题推广 / 四六文摘

练习题

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习348：讨论如下反常积分的敛散性.

先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！

【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

【注2】每日一题题目并非咱号完全原创，一般来自各类参考书或网络资源，由学友改编、整理并由咱号免费推送分享。感谢学友的热心整理分享，欢迎更多学友投稿分享好的学习资源、学习经验和大学学习、生活经历、经验，分享热线：微信、QQ、邮箱都为QQ号码：492411912.

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练习参考解答

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习348：讨论如下反常积分的敛散性.

【参考解答】：用级数法. 由于被积函数非负，所以可将无穷限广义积分的敛散性转化为级数的敛散性来讨论. 注意到是以为周期的函数，则有

作变量替换：，则

再对作变量替换：，则

进而有

当时，由Jordan不等式：，则有

类似地，有

利用不等式：可知，

\int_0^1 {\left( {1 - {s^2}} \right){\rm{d}}s} = {2 \over 3},\,\forall k \ge 0." data-formula-type="block-equation" style=" text-align: center; overflow: auto; ">

而

所以

于是，有

由此可见，广义积分

与级数有相同的敛散性.

显然，当 1" data-formula-type="inline-equation" style="">，即为正整数时，级数收敛，从而广义积分收敛；当，即时，级数发散，从而广义积分发散.

推广1：讨论如下反常积分的敛散性.

【参考解答】：沿用上面的记号，仿照上面的做法，有

进而有

易见，广义积分

与级数有相同的敛散性. 因此，当为正整数时广义积分收敛；当为正整数时广义积分发散.

推广2：讨论如下反常积分的敛散性.

【参考解答】：类似于上面的做法，有

其中

利用不等式：, ，有

再由不等式： 1 - {s^p},\forall s > 0" data-formula-type="inline-equation" style="">可知，

\int_0^1 {\left( {1 - {s^p}} \right){\rm{d}}s} > {p \over {p + 1}}" data-formula-type="block-equation" style=" text-align: center; overflow: auto; ">

另一方面，

所以，有

和

于是，有

由此可见，广义积分

与级数具有相同的敛散性.

显然，当 1" data-formula-type="inline-equation" style="">，即为正整数时级数收敛，从而广义积分收敛；当，即为正整数时级数发散，从而广义积分发散.

说明：我在“每日一题”(每日一题345：一道反常积分数学分析考研真题的证明及其推广)中看到了学友分享的一道广义积分题目，感觉题目很好，但提供的解法技巧性太强，不易想到。在此，我给出了该题及其推广形式的级数解法，虽然看起来也很麻烦，但这种想法更自然一些，具有一定的普适性，学友容易接受。

推荐一本真题汇编参考书：考研数学分析总复习——精选名校真题第5版。

全书共分八讲：第1讲内容为极限思想、各种求解方法和证明极限存在的各种方法；第2讲为函数一致连续性的思想和证明方法及技巧；第3讲为微分中值定理有关的思想和相关问题求解方法；第4讲为函数可积证明和定积分计算方法；第5讲为级数收敛性的判别和函数项级数性质的讨论；第6讲为多元函数的各种性质及应用；第7讲为各类积分的计算方法和技巧，第8讲为不等式专题。

适用于数学专业考研和全国大学生数学竞赛数学类和非数学类竞赛参考！

每日一题348：一道幂函数与指数函数乘积的广义积分级数求解方法及问题推广

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