每日一题348:一道幂函数与指数函数乘积的广义积分级数求解方法及问题推广

练习题

【注】如果公式显示不全,请在公式上左右滑动显示!

练习348:讨论如下反常积分的敛散性.

先自己思考,动手尝试探索一下解题思路与解题过程,写写解题步骤,然后再对照下面的答案

【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题,而重在分享、拓展思路,更多重在基本知识点的理解、掌握与应用!参考解答一般仅提供一种思路上的参考,过程不一定是最简单的,或者最好的,并且有时候可能还有些许小错误!希望在对照完以后,不管是题目有问题,还是参考解答过程有问题,希望学友们能不吝指出!如果有更好的解题思路与过程,也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员,管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享,谢谢!
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练习参考解答

【注】如果公式显示不全,请在公式上左右滑动显示!

练习348:讨论如下反常积分的敛散性.

【参考解答】:用级数法. 由于被积函数非负,所以可将无穷限广义积分的敛散性转化为级数的敛散性来讨论. 注意到是以为周期的函数,则有

作变量替换: ,则

再对作变量替换:,则

进而有

当时,由Jordan不等式:,则有

类似地,有

利用不等式:可知,

\int_0^1 {\left( {1 - {s^2}} \right){\rm{d}}s} = {2 \over 3},\,\forall k \ge 0." data-formula-type="block-equation" style=" text-align: center; overflow: auto; ">

所以

于是,有

由此可见,广义积分

与级数有相同的敛散性.

显然,当 1" data-formula-type="inline-equation" style="">,即为正整数时,级数收敛,从而广义积分收敛;当,即时,级数发散,从而广义积分发散.

推广1:讨论如下反常积分的敛散性.

【参考解答】:沿用上面的记号,仿照上面的做法,有

进而有

易见,广义积分

与级数有相同的敛散性. 因此,当为正整数时广义积分收敛;当 为正整数时广义积分发散.

推广2:讨论如下反常积分的敛散性.

【参考解答】:类似于上面的做法,有

其中

利用不等式:, ,有

再由不等式: 1 - {s^p},\forall s > 0" data-formula-type="inline-equation" style="">可知,

\int_0^1 {\left( {1 - {s^p}} \right){\rm{d}}s} > {p \over {p + 1}}" data-formula-type="block-equation" style=" text-align: center; overflow: auto; ">

另一方面,

所以,有

于是,有

由此可见,广义积分

与级数具有相同的敛散性.

显然,当 1" data-formula-type="inline-equation" style="">,即为正整数时级数收敛,从而广义积分收敛;当,即为正整数时级数发散,从而广义积分发散.

说明:我在“每日一题”(每日一题345:一道反常积分数学分析考研真题的证明及其推广)中看到了学友分享的一道广义积分题目,感觉题目很好,但提供的解法技巧性太强,不易想到。在此,我给出了该题及其推广形式的级数解法,虽然看起来也很麻烦,但这种想法更自然一些,具有一定的普适性,学友容易接受。

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全书共分八讲:第1讲内容为极限思想、各种求解方法和证明极限存在的各种方法;第2讲为函数一致连续性的思想和证明方法及技巧;第3讲为微分中值定理有关的思想和相关问题求解方法;第4讲为函数可积证明和定积分计算方法;第5讲为级数收敛性的判别和函数项级数性质的讨论;第6讲为多元函数的各种性质及应用;第7讲为各类积分的计算方法和技巧,第8讲为不等式专题。

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