中考数学压轴题分析:重叠面积问题
本文内容选自2021年吉林中考数学几何压轴题。动点产生的重叠面积,只需进行分类讨论即可。
【中考真题】
(2021·吉林)如图,在矩形中,,.动点从点出发沿折线向终点运动,在边上以的速度运动;在边上以的速度运动,过点作线段与射线相交于点,且,连接,.设点的运动时间为,与重合部分图形的面积为.
(1)当点与点重合时,直接写出的长;
(2)当点在边上运动时,直接写出的长(用含的代数式表示);
(3)求关于的函数解析式,并写出自变量的取值范围.
【分析】
(1)根据特殊角的三边关系可以求解。
(2)把点P的路程减去AB的长度即可。
(3)分为点P在AB和BC上两种情况讨论。但是当点P在AB上时,点Q有可能在DC的延长线上,因此总共分为3种情况。找出临界点,确定自变量x的取值范围,再求重叠部分的面积即可。
如图,当点Q在DC边上时,重叠部分为三角形,直接根据特殊角的三边关系,用x表示底和高即可。
如图,当点Q在DC的延长线上时,重叠部分的形状为四边形,只需把原有的三角形减去一部分即可。
当点P在BC上时,重叠部分又是一个三角形。
【答案】解:(1)如图,
在中,,,
,
.
(2)点在上运动时间为,
点在上时.
(3)当时,点在上,作于点,交于点,作于点,
同(1)可得.
,
当时,
时,点在上,
,
,
,
.
,
,
,
,
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当时,点在延长线上,交于点,如图,
,,
,
,
.
当时,点在上,如图,
,
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综上所述,
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