一个看似简单的问题：0.999无限循环是否等于1？数学危机因此诞生

“数学”是人类文明进步的基石，中国古代数学著作《孙子算经》中认为“数学是天地万物最根本的东西”，也有人认为数学是“科学之王”。仔细思考一下就可以发现，大部分促进人类文明发展的学科都是以数学为基础的，大部分成果都需要数学计算来证实，在大数据的工业化社会，人类的社会就是建立在数字之上！

早在古希腊时代，数学就已经有了一定的基础，公元前5世纪，数学发展迎来了第一次“数学危机”，也就是我们常说的“毕达哥拉斯悖论”，随着希巴斯发现了第一个无理数，解决了这个问题，人类的数学基础再次发展。

“数学危机”在人类的历史上发生了三次，其实数学危机叫做“数学革命”可能会更加恰当一些， 因为“数学危机”发生的根本原因是当时的数学理论不够全面， 遇到一些无法解决的问题时自然就会产生危机。

目前历史上一共发生了三次数学危机，第一次数学危机是因为当时的人们没有无理数的概念，因此一个问题的出现引发了人们的恐惧，也颠覆了当时的理论，在当时的数学界，话语权最大的学派是“毕达哥拉斯学派”，他们认为“万物皆数”，数学是万物的本源。

这个学派的人们认为“一切数均可表示成整数或整数之比”

在“毕达哥拉斯学派”有一个人叫做希巴斯，他突发奇想，提出了这样一个问题“边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？”，这个数字用整数和分数都无法表示，希巴斯创造了一个新数√2（根号二）用来表示这个数值。

或许你认为，希巴斯的这个发现没什么大不了的，但是对于当时的希腊人来说，这个发现直接动摇了他们的世界观，因为当时“毕达哥拉斯学派”是最主流的观点，而“毕达哥拉斯学派”不是一个简简单单的学派，而是一个集合“宗教”“政治”“学术”为一体的组织，对全社会有巨大的影响力。

希巴斯的发现引发了当时人们的认知危机，但是也促进了数学的发展，而第二次数学危机要更加的有趣，也更容易引起我们的思考。

第二次“数学危机”

第二次数学危机的开端也发生在古希腊，但是直到十七世纪伴随着微积分的出现在被世人知晓。相信大家都听说过“芝诺的乌龟”这个悖论，笔者在其他文章中也有描述，这里就不多做讲解。

“芝诺的乌龟”是一个很奇怪的悖论，我们明明知道它是错误的，但是如果你没有微积分的相关知识，又无法去反驳这个悖论，可以说这个问题困扰了人们很多年，但是在牛顿和莱布尼兹创立了微积分后，这个问题得到了很好的解答。

在微积分被当时的人类广泛运用的时候，一个问题出现了，“无限小量”是否等于0 ？牛顿和莱布尼兹都不能很好地解决这个问题。那么什么是“无限小量”呢？

首先我们来思考这样一个问题，0.9999……无限循环是否可以等于1？

从数学的角度来看，0.999的无限循环不能等于1，但是在实际生活的运用中，0.999的无限循环就是等于1，比如，有质量的物体的运动速度是无法实现光速的，我们只能去无限接近光速，在接近光速的过程中，物体的质量会趋于无限大。

接近光速的过程就等于0.999的无限循环，虽然我们无法实现光速，但是在接近光速的过程中会无限趋于光速，因此在实际生活中，0.999的无限循环和1的实际意义相同。

牛顿和莱布尼兹为了解释这个问题，引入了这样一个概念“无穷小量”，比如，0.9999的无限循环和1之间的差距就是一个“无穷小量”，可以说，无穷小量无限接近于0，第二次数学危机就因为这个问题而诞生。

无穷小量是否等于0和0.999的无限循环是否等于1，这两个问题其实相同，自相矛盾引发了第二次数学危机，牛顿本人对无穷小量的概念进行了多次的解释，但是每次都无法真正地解决这个问题。

仔细思考一下，这个问题其实十分有趣，数学是科学的基础，但是实际生活和计算是有一定差距的，或许这也是为什么当时的人们对这个问题感到疑惑的原因，在半个世界的时间内，学术界都对这个问题争论不休。

之所以会发生第二次数学危机，并且还是因为一个看似很简单的问题，原因就是当时的数学不够严谨直观，只强调形式上的计算，不去思考计算的基础，对于无穷小量的概念尚不明确的情况下就进行微分计算。

1821年，柯西引入了“极限”的概念去解释无限小量成功解决了这个问题，第二次数学危机得到了很好的解决。

而第三次数学危机是“罗素悖论”，直到今天也没有被很好的解决，也就是说我们仍然在第三次数学危机中，“完美的理论”并不存在，任何理论都需要不断完善才能一直迸发出生命了，人类的数学就是这样在一次次“危机”中发展前进！