特级教师谈：如何发现孩子的数学天分？
唐盛昌：上海市特级校长、数学特级教师。原上海中学校长；原中国教育学会副会长；原上海市数学学会副理事长；现任教育部基础教育课程教材专家工作委员会副主任、上海市基础教育国际课程比较研究所所长。
如何发现孩子的数学天分？
思维的跳跃性和缜密性的完美结合
首先，我们要明确一个概念，对孩子早期能力的识别是一个非常困难的工作，同时也是世界性的难题。期望通过一种明确的方法或者测试来判断是不现实的。
在承认第一点的基础上，基于我从实践视角的多年研究，数学学习能力较强的孩子往往体现为思维的跳跃性和缜密性的完美结合。
这些孩子都具有一种比较强的数学想象能力，他们能突破原有思维框架，找出新的问题解决思路，新的问题解决方法。
比如面对一个数学问题，有时候数学能力强的孩子会有一种直觉，让他们可以跳过很多逻辑推导的步骤，一下子看到不同概念之间的内在联系，从而迅速推导出结论。
这种思维跳跃而且能够跳得正确的能力，就是一种数学学习能力的天分。
当然，孩子们是多样化的，有些孩子在数学领域有天分，有些孩子在其他领域有天分。并且，有天分的孩子也并不一定就会做出成就，还需要其他的因素，尤其是意志品质。
比如在碰到数学问题时是持之以恒的探索，或者进行思维跳跃，还是碰到困难就放弃了？如果是后者，即使具有很好的数学天赋，成果还是出不来的。
我们要发现孩子的数学天分，目的还是为了因材施教。家长首先要认清自己孩子对数学的学习兴趣与学习能力，从而对孩子提出适当的学习要求。
比如，对于有数学学习天分的孩子，应该创造环境来培养其数学学习能力；对于一些不喜欢数学和对数学不敏感的孩子，家长要做到“扬长”“平短”。比如对空间概念不敏感的孩子，家长可以多用魔方玩具等培养其空间想象能力。
大多数孩子只要教育得当，都可以达到我们基础教育的数学课程标准。至于学习奥数，从我们多年的实践经验看，真正适宜搞奥数的孩子比例是很低的，应该不超过百分之一二。
如何培养孩子的数学感？
不同年龄段培养不同的数学能力
接下来谈谈如何培养孩子的数学能力。
正如开始所说，数学能力强的孩子往往都具有数学感。那么什么是数学感呢？
数学感包含的内容是相当丰富的。比如对一个学龄前的孩子来说，他会遇到一个数字的概念。
比如我们说一个杯子、两个杯子，这是具体的，但数字是一个抽象的概念，数字1、2、3是看不见摸不着的。所以对于这个年龄段的孩子来说，一个杯子是可以理解的，但是1是一个抽象的概念，对他们的思维要求就比较高。另外，数除了可以代表数量，还可以代表数序。比如二和第二，实际上是不一样的。
除了数以外，还有很多重要的数学概念，比如空间概念。数学上是从数轴到平面再到三维空间。而事实上，孩子日常生活中首先接触到的大是三维的概念。
这样一些基本概念形成后，才能对数学有一个比较清晰的了解。所以孩子真正形成数学概念，并不是会数数，也绝不是通过解答习题可以培养。
那么该怎么培养孩子的数学感觉呢？
数学思维是分层次的，对不同年级段的孩子的思维能力要求也是不一样的。
三到五岁的学龄前儿童还到不了抽象运算的程度，这时就无法挑战较高的思维运算问题，否则就会欲速则不达。这个阶段首先要让孩子感受到从具体到抽象的过程。比如，不要问孩子3+5等于几，可以给孩子3块积木加上5块积木，让他自己去感觉摸索。
在小学阶段，学生应该掌握一定的运算规律。这个时期，记忆力起到了很重要的作用。但单靠记忆力，到了一定的学习阶段就不能解决问题了。
在初中阶段，数学能力表现为逻辑思维能力，包括分类、归纳、演绎等逻辑思维能力。所以我们也就不难理解有些孩子小学数学很好，到了初中却不一定好的原因了。
高中数学对逻辑思维能力的要求更强，需要学生对数学理解更深刻，能整体把握问题。学习排列组合、概率初步是最难的，需要学生具备较好的整体把握能力和较高的思维严密性，立体几何、解析几何则需要空间想象能力。
大学以后对学生的数学能力有了更高的要求，既要具备深刻性，还需要创新性。
所以不同年龄段，数学思维要求不一样。
男生记忆力的普遍特点是机械记忆不强，而理解记忆强。如果我们小学阶段的题目偏向于机械记忆，就会把一批本来有数学天分的孩子淘汰掉。我们只知道他们是在小学阶段数学没学好的孩子，而没有意识到他们只是思维不适应。这是我们家长和教育工作者都要注意的。
对于教师和家长来说，要保护好孩子的数学学习兴趣，不能轻易对一个孩子说你不行，要让他们在数学学习中有更多的尝试。
在小学、初中阶段广泛激发兴趣，高中阶段则聚焦志趣，同时还要考虑他们的兴趣和潜能。
家长要避免两大误区：
提前灌输具体知识、片面注重解题方法
在这里我想强调一下家长在子女数学学习中的作用问题。
对家长来说，应该更多的花力气在培养孩子数学学习的意志品质上，督促孩子提高学习效率，引导孩子养成正确的学习态度，让孩子有效的学习。
我不赞同家长盲目送孩子到课外辅导机构上课，也不赞同盲目的向孩子提前灌输具体的数学知识，这往往也是很多课外教学机构的误区。
为什么？
首先，数学学科是一个系统化学科体系，具有内在的结构。同时数学教学体系的编写过程和学生思维发展过程是相匹配的，如果我们揠苗助长，盲目把认知链条打破打乱，会造成学生对其所学的认识混乱。
很多家长看到孩子在某个地方总是做错，会认为这是“粗心”，其实很多情况下，这不是粗心，而是因为孩子在幼儿园或小学最初接触这个概念的时候发生了偏差，但这些模糊的概念盘踞在大脑中，很难纠正。这样的“粗心大意”很难改掉。
其次，过早让孩子学习数学会压缩孩子未来在数学方面拓展的空间。
对于数学知识的进一步教学有两种，一种是从一个概念到其类似概念的延伸和拓展，还有一种是将学生后续的数学思路提前教授。这些都是一些课外教学机构和家长的做法。
例如鸡兔同笼的问题，用小学算术的方法解答是比较难的，但是如果学过两元一次方程组，就变得非常容易；例如数正方形，没有学过排列组合的时候非常难，但如果使用排列组合就变得非常容易。
在学习两元一次方程、排列组合之前，如果没有得当的引导，没有原理的分析，这类题目只会让孩子付出大量的劳动，产生负面作用，把脑子搞乱。
优秀的数学老师要做到：
了解数学整体架构、引导学生更深刻理解数学
教育是人学，是对人的理解和尊重。教育的对象是有差异的学生，所以我想强调教师因材施教的巨大作用。
数学发展到今天，已经成为一门非常系统的科学，这门科学有其自身的结构。我们无法将这种结构直接拿给学生，所以就产生了数学的教学结构。由数学的教育教学专家、心理专家和学科的专家结合起来，一起将不同年龄段学生应该学习的数学知识、体系、学习顺序安排好，这就是我们的教学结构。
我认为每位教师首先需要提高自身的专业素养，需要知道的不是一个个具体的知识，而要了解数学整体架构是如何组成的，某个知识点在这个整体架构中有怎样的地位，重要性在哪里，有哪些应用……这是一个非常高的要求，不是只会解题就可以的。
教师教学生做题的过程中，重要的不是解题方法，而是要激发学生对数学内在规律和联系的认识，这样学生才能将数学真正学好。
对教师更高要求是传道与启发。教师应该更多的培养自身对数学知识内容的把握，使得本身思维品质提升，这样才能运用到实践中，对数学教学内容真正的掌握理解其内涵和本质。
学生向教师提问，应该是学生自身思维之后的产物。教师发现学生在哪里卡住了，然后进行个性化的分析，解决具体问题。
一个优秀的教师能对学生的学习情况诊断清楚并对症下药。对数学拔尖的学生，一位优秀教师能根据学生的特点引导学生探究，进行思想火花的碰撞，激发他们的学习动机。
这需要教师专业素养和对数学的深刻理解，能不能把这个问题以合适的方法，讲授和学习，并探究更好、更快、更有效的方法。
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