连载 | 弧度制教学中相关问题（二）

3.数与量的区别

为说清函数中变量究竟是什么,先来谈谈数量的含义.

数与量是一样的吗?

数,表示物体的量的基本数学概念,例如自然数、分数、实数、质数等.量,关于物体多少的数学属性,也称数量.数是量的抽象,可以用…等符号表示,是脱离了物体的具体物理性质的概括.量是数的具体存在和应用,与具体物体的形态相结合,描述某种具体性质,量是有单位的.例如,个,米,小时,弧度,米/秒,……，(米/秒)描述的物理量是速度.

柯朗这样理解分数与分数对应的量[5,P.65],“把原来一个单位分为等分而得到的小单位,用符号表示;而且如果一个给定的量恰好包含个小单位,它的度量将用符号来表示”.“符号脱离了它同测量过程及被测量的量的具体关系,而被看作是一种纯粹的数”.

一般情况下,不严格区分数与量,有时笼统地称数量,甚至在数学的具体问题中,很少离开数单独讲量的含义,但数与量是不同的.抄录亚历山大洛夫《数学——它的内容、方法和意义》第一卷[6]第一章“数学概观”中一系列论述,可以说明数与量的不同.

“

“每一个单个的数,象‘二’、‘五’等等,是物体集合的一种性质.这种性质对于所有那些物体集合之间可以将其物体逐一对比的集合来说是共同的,对于那些不能将其物体逐一对比的集合来说是不同的”[6,P.8]. “但是数之间的关系是物体集合之间的现实的量的关系的抽象形态,所以我们可以说:算术是关于现实的量的关系的科学”[6,P.10]. “关于几何量的概念——长度、面积、体积——也同样是从实践活动中产生的”[6,P.19].“任何一种量的度量一般地都把计算同对这一种量所实行的某种专门手段结合起来.提起用量杯测量液体或者用摆的振荡次数来测量时间这两个例子就足够了”[6,P.23].“人们度量的最初一些量就是几何量:长度、播种面积、液体和散粒体的体积”[6,P.23].“为了说明实数概念的特征,牛顿在他的《数学原理》中写道:‘我们与其把数理解为单位的集合,不如把数理解为某个量对另一个被取作单位的量的抽象比.’这个数(即比)可以理解是整数、是有理数,或者当给定的量与单位不可通约时,是无理数.实数按其原来的意义无非就是一个量对另一个被取作单位的量的比;在特殊情形下——是线段的比,也可能是面积、重量等等的比.从而实数是脱离了具体性质来加以考察的一般量的比”[6,P.26].

”

量有两种基本存在形式,计数和度量.自然数对应的量既可以是计数又可以是度量,即可以用于“10个”计数、又可以用“10米”度量(粗略地说,自然数的计序也是一种量的表现,本文没有在此方面作深入思考).整数以外的正实数一般只用于度量不用于计数,即不能称“个”,但可以有“米”.亚历山大洛夫为此专门说,“分数不是也不能从整体的分割中产生,因为整的对象要用整数来计算”[6,P.23],“线段长度之比也可以看作是数并这样来把数的概念本身加以推广”[6,P.25],“分数是从连续量的分割产生的”[6,P.30].

对于数与量,柯朗这样说[5,P.64],“自然数是从计算有限集合的元素个数的过程中抽象出来的.但在日常生活中,我们不仅要数单个的对象,而且也需要度量像长度、面积、重量和时间这样的量.……首先我们选择一个度量单位——英尺、码、英寸、磅、克或秒(选哪一个根据情况而定),并规定它为. 然后我们数一数被度量的那个量包含有多少个单位.”

度量对物体性质的描述是相对精确的,当说“米”时,并不考虑具体物体和地域,只要是度量长度,“米”的含义是相对确定的.而计数对物体性质的描述精确性要相对差些,当说桌子上“个”苹果时,苹果的形状大小是限定的;当说将要买“个”苹果时,苹果的形状大小是泛指的;当仅说“个”水果时,意义又进一步抽象而不确定到物体对象.

可以这样理解数与量的关系,数是纯粹的数学世界中的对象,数只服从于数学运算、结构和原理;量是数对于现实世界的应用工具,对这个工具的有效性的判断与检验,需要回归到现实世界的客观存在中进行.量是由度量得到的,是测量、度量的结果,度量基础是测量.测量与度量的标准及方法可以有多种.

测量与度量是有区别的.测量是对具体对象的数据化过程与结果,用于构造和比较物体的数学性质.度量是在数学公理化基础上的抽象数学对象的几何结构化,是测量的抽象化和一般化.现实的世界通过测量与数学的世界相联系,现实的世界与数学的世界之间从来就不一样,F.克莱因《高观点下的初等数学》第三卷第二十二章指出,在两者之间有一个计算与测量的“数学”[7,P.3-P.15].现实世界中的测量,相当于数学世界中的度量.

数是否有单位?

回答是否定的.在数系的扩张中,从没有建立“实数的单位”这样的概念;而当数用于度量,表示具体物体的量,是有度量单位的.有时候没有严格区分数与量的差异,造成对概念的误解.例如,后文将分析到,角的弧度制角度制表示中,就没有严格区分弧度数与弧度,角度数与角度.

在数轴上用点和线段表示数时,为了数与线段之间建立对应,将固定间隔点之间线段的长度称为单位长度.这个单位长度是固定的,是这个数轴系统中的度量标准或者度量单位,即长度单位.这个长度单位,与“米,秒”的功能一样,只是没有写出“米,秒”一样的“单位符号”.对于这个做法,亚历山大洛夫具体描述了一段线段如何去度量一段线段,将对应到一个数[6,P.27].柯朗《什么是数学》第二章第一节“有理数”、第二节“不可公度线段、无理数和极限概念”[5,P.64-P.86] ,也类似地描述实数与线段的对应.也就是在这种意义下将实数看成线段,即由某一固定的线段的倍数对应的线段.实际上需要对线段进行运算,细致的陈述可以在Kiselev的几何教材[9]中看到.

可见,当把实数对应到数轴上的线段时,需要给定一线段作为度量单位,而不是实数本身有单位.欧氏空间中,长度的向量,称为单位向量,就是这个度量空间的度量单位.例如,对单位向量,若,则就是有个度量单位的向量.不同的度量空间单位向量不一样,即度量单位不一样,类似于不同的数轴系统中长度单位不一样.

如果将实数对应的度量的单位混称为“实数的单位”,那么,将实数用于长度的度量,实数“单位”似乎应该是米;将实数用于面积的度量,实数“单位”又应该是平方米? 实际上我们都知道平方米是面积单位,而不是实数本身的单位.

当将实数看成是一个运算系统或运算结构,那么,乘法运算的单位元是,加法运算的单位元是,运算单位元也称乘法单位和加法单位.这里,乘法单位后面无法跟量词,即乘法单位只有数的运算意义,不具有度量意义.

数的运算律和运算法则是否依赖于数对应的量的意义?

数的运算不是量的运算,数的运算规律并不由具体物体的数量关系决定.

的正确性,并不因为“个苹果  个苹果=6个平方苹果”没有物理意义而受到影响,根据数的运算定义,,是脱离了具体物体的物理属性而存在的.同样无需考虑个苹果开次方的物理意义,但可以执行的运算,这样运算时没有任何疑惑.如果混淆数的运算与对应物体量的关系,那么以速度每小时千米走小时,总共走了千米,千米与小时相加没有任何物理意义.但若另一段路程以每小时千米又走了小时,那么千米与千米可以相加得总共走了千米.就是说有时不可以成立,有时又可以成立,这将使数学陷入莫名的困境.

亚历山大洛夫说[6,P.26],“这样,正如整数的算术一样,实数的算术以连续量的现实的量关系作为自己的研究对象,它是在普遍的形式上完全脱离任何具体性来研究这些连续量的.正因为在实数的概念中提出了为所有连续量所共有的东西,所以它有这样广泛的应用:各种不同的量,比如长度、重量、电流强度、能等等的值都可以由数来表示,而各个量之间的依存和联系关系,可以用它们的数值之间的依存关系来刻划”.柯朗说[5,P.67],“对数学家来说,经过了很长的一段时间才认识到‘符号法则’(3)(引注,指负负得正)以及负数、分数所服从的其他定义是不能加以‘证明’的.它们是我们创造出来的,为的是在保持算术基本规律的条件下使运算能够自如.”也就是说,数的运算性质是抽象于因而独立于物体量的含义的.

物理学中的数学公式、函数关系是带量纲才成立的吗?

这个问题应该从两方面来回答.一方面,数学公式、函数关系的成立与量纲无关,另一方面,这些公式、关系表达的物理意义与量纲有关.

数学是舍弃了具体物体的物理属性的抽象,在作数的运算时,运用的是抽象的一般规律,执行的是由数的大小与次序以及规定造成的运算律,而不是按照一个具体物理量属性进行的.物理量之间的函数以及函数运算和函数复合的物理意义,是物理学中的量纲问题,即使有量纲分析,也并不需要依赖于量纲才可以进行数据运算,只是在解释物理意义时需要量纲分析.

路程的数值与时间的数值不可以作运算吗?

函数模型中变量的运算是数的运算,并不需要带量的单位,路程的数值与时间的数值当然可以进行运算.路程是时间的函数,总价是数量的函数,它们都是实数到实数的映射.把这两个函数看成是一类函数,都是一次函数,它们之间的运算与复合当然可以进行.

对于一元函数而言,自变量的数值与应变量的数值相加是可以进行的,虽然与如何将它们应用到具体的量的意义无关.然而,对于多元函数来说,不应该要求自变量的数值与应变量的数值进行运算而且具有具体物理意义.对于一般函数而言,没有任何企图要将自变量与应变量的数进行相加,它们的数的运算结构都可能不是一样的.例如,一维数与二维数组怎么相加,为什么要求它们相加呢?

4.十进制表示数

什么是十进制?

十进制是数的十进制(位)表示、十进制(位)记数的简称,也称阿拉伯记数法[8,P.4],以的方幂为基本记数单位.对于一个自然数,将其按照10的方幂分组求和,用十个字符表示10方幂的个数(最高位不能为),按照方幂大小次序在对应的位置写出方幂个数的字符,用这组有序字符来表示这个数,称为十进制记数法.例如,,用表示个,个和个.整数通过添加正负号,从而借助自然数的十进制得以表示.十进制记数法还可以拓展到小数的表示,

其整数部分是有限的,小数部分可以有无限项(最后一位小数不能为).

什么是位值制记数法?

十进制就是一种位值制记数法.任意给定两个正整数和,可以由如下方法将表示成进制记数:由阿基米德公理,存在非负整数,使得.于是存在正整数和非负整数使得, , .再对用阿基米德公理,继续这样下去,由归纳法,存在使得简记为,称该表达式为的进制表示.这个表达式中,不同位置的数值有不同的含义(),这种记数法称位值制记数法.此记数法可以拓展到小数,(最后一位小数不能为0).

在表示式中,实际记数时可以省略上划线而仅在右下角写出下标.而时,通常连下标也不写.当时,由于只有个记数符号,因此可以借助于英文字母来表示,也可以直接在 上加括号,表示将整体看成一个数位值.如果这样,位值符号是借助于十进制数表示的,因此就不是严格意义的进制表示数了,称之为十进制为基础的进制混合表示.

例如,对应于,即,这时的读法不是通常的“‘千’‘百’‘十’”,而只能是“、、、”.同样, 而.类似考虑小数的写法,有, 等.

非位值制的记数法是存在的,例如[9,命题81,P.110],“若是一给定的自然数列,它们都大于1,则每一个实数可以唯一地表示为一个如下形式的Cantor级数:,其中都是整数且且有无穷个满足.”这时可记为.

实数是十进制的吗?

一个数是否是实数,是否是有理数,只是这个数本身的性质,与这个数用六十进制还是十进制表示没有关系.一个实数,可以用二进制或者十二进制表示,不同的表示不影响它是否是实数的性质.有理数是两个整数的比(分母非零),与这两个整数是否按照十进制写没有关系.都是有理数,它们根本就是同一个数.

即使人们喜欢和习惯用十进制表示一个数,也不可能用十进制表示所有的实数,即使是常用的数也不都是用十进制表示的.事实上都不是十进制表示,甚至也不是十进制表示,而的右侧是十进制表示但左侧不是.

（未完待续）

参考文献

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本文转自：朱老师xyz