解题的哲学思考——取势、明道、优术—取势明道优术，则道可道

选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》

“正心、取势、明道、优术”首先出自于道德经，孙子兵法也记载过，道家、兵家、企业家和教育家等等都把这句话用于各个领域，对于这么深刻的一句话，我们也可以尝试运用于教学，笔者发现，这个的良好运用，能让解题教学发生质的飞跃。

其实我们可以这样思考：有了坐标系之后，我们就把抛物线和直线这些几何图形用代数的方程或函数表示出来，然后从代数的角度去解决，这就是解析法，由此看到解析法的本质在于用代数方法研究几何问题（势：本质），那一种基本思路就是尽可能地把几何中的关系代数化（道：想清楚方法的原因），并且希望得到的代数关系式更加简洁和或更容易处理（优术）。

对于数学来说，我们追求通性通法，但对于特殊问题，往往也有特殊的处理技巧，我们不应该完全排斥技巧，更不是纯粹地追求技巧，而是应该站在势和道的高度来思考，如何让技巧在我们思维的世界里显得朴素且自然。

联立（1）、（2）即可得到，用这种方式去思考解析几何中的问题，很多都很容易突破。利用斜率比用勾股定理运算更小，用对称性，两对角线的中点一样来构建方程显然比用距离相等更优化。

【解析】：（1）略；

（2）【取势】：认知这一个什么问题：零点问题。处理零点问题有那些基本方法：（不分离）研究 f(x) 单调性，作图，常常涉及分类讨论；（全分离）分离参数，（半分离）化成一条直线与曲线的位置关系，通过把参数的变化化为几何中的运动来处理。

【明道】各种方法的优缺点：不分离，对讨论提出了较高要求，如果是恒成立，可以通过特殊值缩小参数的范围来减少讨论；全分离，有时候对函数的处理提出了较高要求，半分离适合选填题。

进一步思考分离参数法：好处在于减少讨论，绝大部分时候，让解题变得更简洁，易错点有二：其一是不等式两边要考虑正负；等式分离参数容易忽略定义域。其困难也有二：一是求导之后，分子看起来可能比较复杂，但是往往求导之后，有可能比较简单或者可以因式分解，求导之后的观察显得尤为重要；二是对极限的考虑，比如

，需要对左右极限的考察，洛比塔法则能帮助学生顺利解决极限的求解问题。不是所有的都可以分离参数，比如问题中既有 a , 还有

这时候就直接求导，求导、因式分解、结合定义域分离正项、对参数讨论。

【优术】具体问题具体分析，灵活选择。就此题而言，全分离，得到函数非常简单，而求导，幂函数和指数函数构成的分式函数，求导较为复杂。所以全分离更简洁，但两种都是基本方法，下面给出两种方法，大家可以比较。