共起点向量线性等式的几何意义及应用

本文将探讨共起点向量等式的几何意义及其应用.

因为下面的内容要多次用到“点分有向线段所成的比”这个概念,所以,我们把这个概念介绍一下:若,则称分所成的比为,特别地,若点时线段的中点,则分所成的比为1.

1.共起点三向量线性等式的几何意义

1.1起点可直接消去

当时,,代入得:

所以

所以与共线

因为与有公共点

所以三点共线,并且分所成的比为

综上可得

结论1:若,则三点共线,且分所成的比为,分所成的比为;分所成的比为.

因为等式左边的系数和等于零,所以保证了能够消掉点,使得四点向量式变成了三点向量式,从而让原等式的几何意义明显了.

此外,我们遇到较多的等式是,这个等式左右两边的系数和相等,因此,移项后,系数和等于零,于是有

结论2:若,则三点共线,并且分所成的比为.

举两个例子看看:

若,

则或或

若,则;

(对于变形后获得的定比,希望读者从上面的例子里总结出它与原系数的关系.)

1.2起点不可直接消去

如果,

可令,

注意到上式中左边系数和为0,根据结论1得,在直线上,且分所成的比为(即).

同理,我们可令,推导出;令,推导出.

因为,

,

,

所以共线,共线,共线

于是上面的结果可以概括为:

结论3:若,直线交于,直线交于,直线交于,则,,.

上面的推导过程,关健一步是令,其实质是将化为向量方程组,进而显性化向量等式的几何意义.所以,只要学会这种处理方法,就不需要记忆结论了.

另外,从结论1和结论3可以看出,无论的值是否为零,如果,且直线交于,直线交于,直线交于,都有,,.

我们看下面的例子:

例1.已知,则________.

解:令,得

消去点得

所以

因为,

所以

所以

所以

从例1的结果看一看出,的面积比等于的系数比,这不是偶然,记(下文同),将例1一般化,有下面的结论:

结论4:若,则.

证明:设直线交线段于点,

因为

由结论3知,分所成的比为,即.

设中边上的高为,则

所以

所以

同理可证

所以.

即.

证毕.

至此,我们讨论清楚了向量等式的几何意义:

(1)若,则三点共线;

(2)直线与的交点分所成的比为;

直线与的交点分所成的比为;

直线与的交点分所成的比为;

(3)若,则.

2.几何意义的应用

2.1三角形四心的向量表示

根据结论4知:若是内一点,则.

而对于内的每一个点,都有唯一的数组()与之对应,所以可以用向量等式来确定点在中的位置,常见的有三角形四心的向量表示.

  1. 重心

是重心(三边中线交点)

2 .内心

是内心(内角平分线交点)

.

  1. 外心

若是锐角外心(三边中垂线交点)

,

  1. 垂心

若是锐角垂心(三条高的交点)

,

对于外心和垂心,之所以限制在锐角三角形范围内,是因为如果是钝角三角形,那么会出现负系数的情形,这就要引入方向面积的概念,而这超出高中范围,故本文从略.

2.2动点轨迹问题

1.等和线

在结论2中已经看到,若,则点在直线上,即随着的变化,点的轨迹是直线,事实上,有下面的结论:

若,(为定值),则点的轨迹是平行或重合于直线的直线.

证明:当即时,,

所以,所以点轨迹是过且平行于直线的直线.

当时,令,则

于是

因为,所以

所以点的轨迹是直线

因为且为定值,而在直线运动

所以点的轨迹是平行或重合于直线直线

综上,原结论成立,证毕.

从证明的过程能看出定值的几何意义,上图展现了取不同值时,点轨迹相对于直线和点所在的位置.

另证:设是点轨迹上任意两点,

则存在实数使得

所以

因为

所以

于是

所以

因为是点轨迹上任意两点

所以点的轨迹是平行或重合于直线的直线.

2.等比线

在等式中,若为定值,则,所以与共线,因为为定值,所以点轨迹是直线,又由结论3知,的几何意义是直线与直线的交点分所成的比,这样就获得了直线的一个性质.我们看下面的例子:

例.已知,则点轨迹经过的(  )

A.外心B.内心C.重心D.垂心

解:因为,所以点轨迹是直线

根据结论3知,直线与直线的交点分所成的比为

根据三角形外心的向量表示知,的外心在直线上,故选A.

总之,共起点三向量的线性等式些比例关系,而又丰富了该等式的内涵.

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