共起点向量线性等式的几何意义及应用
本文将探讨共起点向量等式的几何意义及其应用.
因为下面的内容要多次用到“点分有向线段所成的比”这个概念，所以，我们把这个概念介绍一下：若,则称分所成的比为，特别地，若点时线段的中点，则分所成的比为1.
1.共起点三向量线性等式的几何意义
1.1起点可直接消去
当时，，代入得：
即
所以
所以与共线
因为与有公共点
所以三点共线，并且分所成的比为
综上可得
结论1：若,则三点共线，且分所成的比为，分所成的比为;分所成的比为.
因为等式左边的系数和等于零，所以保证了能够消掉点，使得四点向量式变成了三点向量式，从而让原等式的几何意义明显了.
此外，我们遇到较多的等式是，这个等式左右两边的系数和相等，因此，移项后，系数和等于零，于是有
结论2：若，则三点共线，并且分所成的比为.
举两个例子看看：
若,
则或或
若,则;
（对于变形后获得的定比，希望读者从上面的例子里总结出它与原系数的关系.）
1.2起点不可直接消去
如果,
可令,
则
注意到上式中左边系数和为0，根据结论1得，在直线上，且分所成的比为(即).
同理，我们可令,推导出；令,推导出.
因为，
,
,
所以共线，共线，共线
于是上面的结果可以概括为：
结论3：若,直线交于,直线交于，直线交于,则，,.
上面的推导过程，关健一步是令,其实质是将化为向量方程组,进而显性化向量等式的几何意义.所以，只要学会这种处理方法，就不需要记忆结论了.
另外，从结论1和结论3可以看出，无论的值是否为零，如果，且直线交于,直线交于，直线交于,都有，,.
我们看下面的例子：
例1.已知,则________.
解：令,得
消去点得
所以
因为，
所以
所以
所以
从例1的结果看一看出，的面积比等于的系数比，这不是偶然，记（下文同），将例1一般化，有下面的结论：
结论4：若,则.
证明：设直线交线段于点,
因为
由结论3知，分所成的比为,即.
设中边上的高为,则
所以
设
则
所以
同理可证
所以.
即.
证毕.
至此，我们讨论清楚了向量等式的几何意义：
（1）若，则三点共线；
（2）直线与的交点分所成的比为;
直线与的交点分所成的比为;
直线与的交点分所成的比为;
（3）若,则.
2.几何意义的应用
2.1三角形四心的向量表示
根据结论4知：若是内一点，则.
而对于内的每一个点，都有唯一的数组（）与之对应，所以可以用向量等式来确定点在中的位置，常见的有三角形四心的向量表示.
重心
是重心（三边中线交点）
2 .内心
是内心（内角平分线交点）
.
外心
若是锐角外心（三边中垂线交点）
,
垂心
若是锐角垂心（三条高的交点）
,
对于外心和垂心，之所以限制在锐角三角形范围内，是因为如果是钝角三角形，那么会出现负系数的情形，这就要引入方向面积的概念，而这超出高中范围，故本文从略.
2.2动点轨迹问题
1.等和线
在结论2中已经看到，若，则点在直线上，即随着的变化，点的轨迹是直线，事实上，有下面的结论：
若，(为定值)，则点的轨迹是平行或重合于直线的直线.
证明：当即时，,
所以，所以点轨迹是过且平行于直线的直线.
当时，令，则
于是
因为，所以
所以点的轨迹是直线
因为且为定值，而在直线运动
所以点的轨迹是平行或重合于直线直线
综上，原结论成立，证毕.
从证明的过程能看出定值的几何意义，上图展现了取不同值时，点轨迹相对于直线和点所在的位置.
另证：设是点轨迹上任意两点，
则存在实数使得
所以
因为
所以
于是
所以
因为是点轨迹上任意两点
所以点的轨迹是平行或重合于直线的直线.
2.等比线
在等式中，若为定值，则,所以与共线，因为为定值，所以点轨迹是直线,又由结论3知，的几何意义是直线与直线的交点分所成的比，这样就获得了直线的一个性质.我们看下面的例子：
例.已知,则点轨迹经过的（ ）
A.外心B.内心C.重心D.垂心
解：因为，所以点轨迹是直线
根据结论3知，直线与直线的交点分所成的比为
根据三角形外心的向量表示知，的外心在直线上，故选A.
总之，共起点三向量的线性等式些比例关系,而又丰富了该等式的内涵.