关于问题解决的分析（超级干货）

你可能看了一遍之后，有一个理解，并且去实践，再次看一遍，又会有不一样的理解。所以我希望你以精读的方式去读，而不是以小说的方式，它是一套解决问题的方法论。

本文内容一共三个部分

成功解决问题的四个要素

问题类型

解决问题的四个步骤

从我们来到这个世界开始，我们的大脑就在不断的学习，为了面对现实世界的挑战，我们需要被教育，送到学校去，打从我们进了学校，就一直在学习知识和解决问题当中一直循环着，绝大多数人一直背这样的两个问题所困惑，而我们的教育在这两个方面的理论实践教育中有所欠缺，没有一本书告诉我们该如何学习，该如何理解问题，解决问题。

在这个学习时代，网上有许多关于如何学习的观点看法，但我认为其观点看法过于零散，不成体系，而且比较表面，许多观点翻来覆去，换下包装。

今天我将对第二个问题进行讨论，谈谈我对第二个而问题的看法和建议

成功解决问题取决于四个要素：

知识

经验

思维方式技巧

良好的思维习惯意识

首先，知识对解决问题是不可欠缺的，也是显而易见的。知识相当于一种解释世界规律的理论模型，越高级的知识对于规律阐述得越深刻，对问题的研究越普遍。

比如，求三角形面积，小学时学过，这是简单基础的知识，后来学到了更多图形的面积公式，比如圆锥侧面积。再后来高中，简单地学习了微积分，懂得求任意平面图形的面积，到了大学，学会了曲面的面积，这里每个知识都更加高级，解决问题的普遍性越高，越高级的知识能够解决比它更低层次的问题，反之则不行。

对于知识的理解越深刻，就能够更好的解决问题，这里简要说明下什么才叫理解深刻（不做深入讨论）

可视化的理解（转化成感官经验，比如图像画面）

本质化理解（该知识是如何来的，从哪些知识经过何种推理及怎样推理而来的）

多角度理解（用不同角度不同知识模型去作横向比较，发现共同点和不同点，比如类比，比喻等）

实践化理解（通过实验或者现实去对知识理解和自我实践，即用知识去解决问题和分析问题）

深刻理解知识所带来的好处是

1.对其记忆更加深刻，不是通过死记硬背而来的，达到你不需要刻意去记这些知识也能够记住

2.对该知识的识别和应用更加的容易和谨慎灵活，你能从问题中更加容易看到该知识的表现方式，你对它的使用条件理解导致你不会用错地方，能从该知识获得更多的推论

3.更好的体系化你的知识，学习的目的除了要深刻理解还需要把知识点串成一个体系，即把一个个知识点结成一张网，这是符合大脑神经元的特性，在这张网上，某一点被点亮了，其他的点也化亮。

体系化的好处

能让你的记忆负担变小（相当于把许多个记忆单元结合成一个，大脑记忆是有限的，只能记住有限个单元）

加强各个知识点的理解，相互间的沟通，让你的联想更加广阔，这对于解决问题很重要，我们往往需要发散性思考

下面关于经验

这里的经验指的是，你从长期所做的题目中所积累的对于具有某一特性的问题解决该问题的方法步骤，注意事项等。

比如，碰到求最值问题，该如何思考。二次函数根的问题该怎么做，平面图形问题，空间问题等等等等。

这些问题经验呈现了不同类型，和不同的普遍性。他们的需要的知识不同，抽象概括的程度不同，比如最值问题，取值范围问题，抽象出来就是函数问题

题海战术的目的就是为了更快地积累这些经验，从而达到对问题的解决，它使你在面对一道问题上有更高的概率碰上“你曾经所做的题”，即熟悉的问题。

老师常常说学生要多多自我总结，而不是依靠老师给的有限的总结。比较优秀的老师也许会给了总结几乎所有的题型方法，让学生学得轻松。但是这样有一个不好的地方，剥夺了学生归纳总结能力，其次，这毕竟是别人总结的，对其吸收和理解绝对是比通过自我总结来得差。

实际情况是，老师无法总结出所有的经验，于是需要学生自我归纳总结。

关于归纳能力，即对许多具体特定问题事物发现其相同点，从而抽象出关于更普遍的问题的相当经验。它是建立在比较思维能力上的一种更高级的思维能力。

比如你发现铁会导电，铜银会导电，发现都是金属这一共同点，于是归纳出金属会导电。

这个问题能用这个方法步骤，那个问题也可以，这两个问题有共同点，于是抽象出更普遍的问题，以至于你下次碰到这样具有该特点的问题也懂得用该方法步骤。

在解决问题过程中，你一开始看，也许就能看到问题的模式，该模式是你熟悉的，于是用经验来解决。有时候你得对问题进行简化转化于是陌生的问题变成了熟悉的问题，再利用经验解决。

思维方式及技巧

思维方式是个大概念，你听过发散性，抽象性，双赢，利他型，数形结合等等等等，看上去很杂，感觉范围广，感觉要学习的很多。

我对其的理解定义是：它是我们思考分析事物和问题，为了描述解释预测控制事物所遵循的一套方法论。换句话说，就是你为了理解这个世界，你用了哪些知识，对这些知识往哪些方向作了怎么样的推理，得出怎么样的结论，是你对事物的思考模型。

比如利他性思维，要求你在处理人际问题上，优先考虑他人的利益。你可以说是一种思维习惯，也可以说是思考人际问题的一个方法。

数学上的数形结合，要求你对代数问题从几何直观的角度去理解。分类讨论是面对不同情况会产生不同结果的问题时，采用的方法。

只要你对某类事物有独到的思考模型，你就可以给它命名，叫XXX思维方式。所以它并不是高达上的代名词，它就在我们身边。

在这里，我是为了研究解决问题，所以对思维方式作了狭义上的理解，这里指的是把陌生复杂的问题转化为熟悉简单的问题采用的方法论。

关于这里的技巧不做讨论，后面在做。

良好的思维习惯

指的是在你解决问题过程中陷入困境时，如何脱离，及避免陷入困境的一些思维习惯和意识。

这些是平时自我思考过程的一个积累，经验教训等，需要学生平常多思考，具有高度个性化。

比如，我们经常会陷入过度主观，也就是认定了一个思考方向，结果碰壁，跳不出来，一直在这个方向上思考，限制了其他思路方向，你能意识到吗？怎么跳出来呢？是否对题目有过度理解呢？审题有误？推理计算出错？等等

又比如，建立一个信念。那就是一道题目有许多种方法，不只有一种，从不同角度去理解就有多种方法，只要你充分利用条件。你做不出来是因为你的思维能力，知识经验不够而不是题目没有这种方法。

又比如，是否具有试探的精神，我们通常有一些线索，但有些人对这些线索不以为然，认为微不足道，或是感觉不太行，于是不想往线索的方向试探。我们知道这种试探不一定成功，但是可能成功，我们总是对熟悉的方法步骤比较感兴趣，认为其成功率比较高，对一些偏离常规的方法步骤感到畏惧，这恰恰给你思维添了堵墙。殊不知，整个数学乃至科学的进步绝大部分是靠着想象力和试探的精神而来的。

还有许多，更多的是你对自己的思考进行思考的总结。当你学会了如何思考你是如何思考的时候，你已经在思考能力上达到一定的境界。比如，你知道自己为什么会想到某些东西，我的思维过程是怎么样的，能否表达出来。

以上四个因素是你解决问题的关键性因素，显而易见，要提高解决问题的能力，即要提高四要素的能力。

接下来讨论问题的类型（以数学问题为主）

第一种分类

证明题

求解题

第二种分类

知识概念题（考察对知识概念的理解程度）

计算题（考察运算的方法能力）

应用题（考擦将实际问题转化为数学问题的能力）

证明题：由题设和结论组成，要求由题设去证明结论。其特点是结论已经告诉你了，它可以变成求解题，只需要将结论的一部分去掉。这种题目考察你推理论证能力，你如何得出新的知识的能力。

一般有两种思路，一是直接证明，二是反证（间接）法。

直接证明要求你建立题设与结论的逻辑关系，有正向和逆向两种思路，从题设到结论的过程为正向，由结论到题设为逆向，也可以从两端向中间靠拢，即正逆向一起用。

反证法，有多种

逆否命题与原命题的等价性

否定结论，推出与题设矛盾

否定结论，按照题设的条件得出矛盾，比如abc推出d ，否定d，推出abc不能共存，则abc推出d

求解题：由已知数据数据，条件和未知量组成

比如这个题目，30°，3是数据，条件是ABC是三角形，∠A 和BC给定，且BD=2DC，

未知量是AD最大值。

要求你建立对未知量和已知数据的关系，在条件限定的基础上。相当于利用知识去寻找关系的过程。

我们解决问题的过程就像是在走迷宫一样，你带着工具（四个要素和题目的条件），最终寻找到迷宫出口的过程。

接下来讨论问题解决过程的步骤

理解题目

构思思路

表达思路

回顾总结

这四个步骤中，构思思路和回顾总结是最为重要的两个步骤，构思思路是你解决该问题的核心，回顾总结是你如何充分挖掘题目宝藏的过程，你提升自我思维和经验的关键。

在讲解过程中以上面的数学问题为例子。

 在第一步理解题目上面要求我们去辨认该问题是否熟悉，也就是这个问题的模式是否是经验呢，和我们曾经做过的题目本质上一样呢。就像这个迷宫模式你看起来很熟悉，所以知道走法。如果辨认为完全熟悉的问题，则按照经验所采用的方法和步骤就可以解决了。

比如这个题目中，我们熟悉的东西有，最后一句话我们知道是函数问题（于是有了寻找自变量及其关系的思路），向量和三角形平面几何问题（有了建立坐标系的思路）。在理解问题中，对问题进行形象化是非常重要的，把图形画出来，或者想象。

但是大多数问题并不是完全熟悉，有熟悉和陌生的部分，甚至是完全陌生的。于是开始构造思路。

构思思路，也就是思维方式技巧的集中体现，碰到问题该如何思考的方法。这里有两个大的方法步骤

第一步，判断是证明题还是求解题，证明题是证明关系，求解题是寻找关系。证明题的思路上面讲过，这里主要介绍求解题（证明题也类似）。这个方法我称为探索分析法。

主要有正向（初中经常用的）和逆向两种思路：

正向具有直接性，盲目性，发散性。逆向具有目的性，收敛性。从正向得出的结论可以有多种，但是哪个结论对问题有用你不知道。

逆向是从要解决的问题出发，思考解决该问题需要哪些条件，去寻找这些条件的过程，具有目的性指向性，是为了解决问题产生的。

正向：从已知条件出发得出某些明确的显然的结论

比如 ∠A=30°，BC=3 在三角形中，你能得出什么结论，想到正弦定理，推出外接圆半径为3，想到余弦定理推出bc的关系，想到BC固定A点为动点，但是满足30°条件，想到它的轨迹是圆，从外接圆半径的确定也能想到其轨迹，想到圆周角和圆心角关系推理出半径为3。等等等等

第一个条件已经用了，接着看第二个条件，D点满足的关系，根据对向量知识的理解，推出D在线段BC上，且D点是三等分点。结合前面的条件又推出BD=2，DC=1.

最后看看问题，求AD最大值，由前面的结论 我们知道A是变化的，其轨迹是圆，接着形象化表示出来，（一般来说能形象直观的看出来就形象直观，不能的再借助于代数分析），在这样一个动态过程中，优先考虑特殊的位置，（通常是起始位置，终点，中间，对称，或者某些特殊位置）AD显然要在中间某点附近，最特殊的就是经过圆心。接着再分析为何这个位置取到最大值，可以通过三角形三边关系进行判断。于是这个问题就解决了。

如果直观分析不出来，转入代数，此时有两种方法。一是建立坐标系，二是纯几何。

建立坐标系，可以使得每一个D都代数化，由前面知道关于A的轨迹，于是把轨迹方程表达出来（用xy表达的圆的方程不适于计算，于是用三角函数表达，这就是经验）A的坐标出来了，于是AD就可以表达成三角函数的函数关系。这个问题就变了函数问题，从而解决。

另一个纯平面几何就不介绍了，你要先设一个自变量（边或者角），利用三角形相关知识建立与AD的关系。比如∠B设为X，bc关系用余弦定理得出，再利用正弦或者余弦定理建立b，x，AD关系，c，x，AD关系，三个方程消去bc，得出x与AD关系。同样地你设边也可以，于是你会发现看似挺多方法的，但本质上大的思路是一致的，只不过你走在不同分支道路上。

逆向思维：从问题出发，寻找解决问题所需要的条件

从问题出发，要解决问题要知道AD的变化情况，然后观察条件，没有直接的AD，于是要通过对条件的利用来算出AD，从而建立AD与某一自变量的关系，而该自变量的取值范围你是能够确定的。

要算出AD，得知道A坐标，D坐标，而D坐标很容易解决。于是把目光转向A坐标的求解，利用∠A-30°这个条件（上面已经讲过），于是AD的表达式算出来了，问题也就迎刃而解了。

我们回顾一下，你的注意力是放在问题本身，而不是条件上，提出解决问题本身最直接的条件，然后你所要做的就是“无中生有”变出那些个条件，有些条件是题目直接给定或者容易求出的，有些从题目条件与你提出的条件之间的沟通是困难的（这种困难体现在过程步骤多，每个过程可能性多）。

这种思维便是收敛性思维，你的思维目的性强，你知道现在要解决什么问题，还差什么条件，这个问题和原有的问题之间的关系。

至于你你对问题A本身所提出的条件体现的则是发散性思维，比如你要算出AD，不一定是求AD坐标，这只是其中一种。你也可以把它看成长度，通过其他长度和角建立与它的关系，从而算出来。又或者我要算出AD的最大值，我可以转化为其他边的关系，比如过A点作BC垂线交于H点那么AD=根号AH平方+HD平方，这样一来就有两个变量，我把它看成二元函数，AH和HD又有一定的联系，这就是二元函数有条件的极值问题啊。

我喜欢看美剧越狱，里面的主人公其思维具备十足的收敛性及发散性。

推箱子游戏能够很好的锻炼这一点，这一过程有多个步骤，每个步骤有多个方向，可以正向分析，也可以逆向（即从最后一步应该在哪进行分析），玩这个游戏你不要去一直试探，一切在大脑中想象，直到有了路线再动手。

关于探索分析法，有两点要补充说明

能够直观化的数学问题要直观化，能用直观解决的问题就直观（这里的直观有静止图像和动态图像两种），不行再用代数法。因为数学语言的本质就是表达直观的东西，空间及数量的关系。

对于求解题，要学会从自由度角度去分析问题，即确定未知量由几个因素决定，其变化的维度是多少，我们可以借助直观来分析，坐标系的条件下，BC确定，A轨迹是圆，（A原来由两个未知量xy决定，二维，两个自由度，但其轨迹是圆，固一个方程条件去掉一个未知数，所以其自由度是1，即一维，平面上的一条曲线，给定y，x就能够确定），所以AD也就是一个自由度，也就是由一个变量决定，所以你知道这是一元函数。当你把整个图形进行动态化之后这是显而易见的。如果再对A施加一个约束条件，那么其自由度为0，也就是A点是被确定的，可以求出来的。如果把题目中的关于D的条件弱化，要求其在BC线段上运动，则AD由两个变量决定，就是二元函数了。

通过自由度分析，你就可以判定题目是否有解，题目是否出错（正常情况下，题目一般没有错误，以至于我们总是忽略这一判断步骤）。你就能够知道未知量由几个自由变量决定，从宏观上把握题目。

第三点，正向逆向思维是一起用的，能从条件中得出结论，你就这么去做，能逆向分析的就对问题分析。一般来说，一道题目由多个条件及一个问题组成，一道复杂的题目由多个小的题目组成，里面有你熟悉的部分，有你陌生感到困难复杂的部分，你的关注焦点，一般来说是先关注熟悉的简单的部分，先去解决部分，从而带动其部分的解决。我们思考问题的过程通常是这样，一会把注意点放在这个位置，一会放在那个位置，综合起来，产生灵感。

就像在走迷宫一样，我们观察迷宫中有哪些熟悉的模式，于是知道走法，就像在迷宫中擦去一部分迷雾，你看得更清晰了，于是从清晰的地方开始分析，使得原来迷雾的部分也变得清晰起来了。

又比如，我们做数独，我们总是先填那些比较容易确定的格子，这样一来未知量少了，已知信息更多了，你对难点的解决就更容易了。

再比如侦探推理，我们最终的目的是要还原整个过程，那些专业的侦探，总是会提出一些基本问题，比如死亡时间，死亡方式，犯罪心理分析，等等，他们要通过这些问题获得更多的信息，于是慢慢还原整个犯罪过程，这不就跟数独一样吗，对复杂的问题的解决一样吗

接下来谈谈构思思路的第二大方法，我称之为转化问题法，即把陌生复杂的问题转化为熟悉简单的问题的方法

数学家波利亚曾经对问题解决提出这样一个比喻，你有水龙头，有煤气，一壶空水壶，一个火柴盒，请问你怎么获得满一壶开水，这个问题每个人都会，打开水龙头，用空水壶接水，放在煤气上，点燃火柴。接着他又提出一个问题，现在你水壶里有一半水，同样的问题怎么解决。

绝大部分人会打开水龙头装满另一半水，按照上面的做法去做，但是数学家们，数学思考的方式却是，把水壶的水全部倒掉，为什么呢，因为倒掉了水，这个问题就变成了前一个问题，而前一个问题你已经解决了，从而新的问题就解决了。

这里体现的就是数学家们解决问题的常用思路，对于我们来说，我们也一直在用，只是我们浑然不知。比如你用经验是解决问题，是因为这个问题和原来的问题一样，用经验解决的问题的区别在于这两个问题本质是一样的，不需要经过转化。

这种转化的目的是把不会的问题变成会的问题，我们的大脑永远无法解决陌生的复杂的问题，正如我们永远无法理解陌生的事物

那么我们为何又能够理解呢，因为我们把这一陌生的事物同我们大脑中熟悉的事物建立了联系，于是你便理解了，这种联系可以是逻辑上的，也可以是非逻辑上的诸如联想类比，这就是许多人在传授演讲介绍某些知识观点看法喜欢用比喻的方式。（在我看来，你总能够找到类比的对象方式，这种方式比较形象化，便于理解，但是你无法从这种理解方式获得本质的理解，你必须得从更为本质的知识演绎推理出这个知识，才能对其有本质的理解）我们的大脑只能通过对陌生复杂的问题进行转化，才能解决它

接下来要讨论的是如何转化及转化后的问题的解与原问题解的关系。

上述的探索分析法中有体现出转化的现象，比如对复杂问题分解成多个小问题（每个条件去分析），对问题A转化成B,C,X。这里探讨的转化和上述转化有两点的区别

一是对原题目是否有改变，探索分析法是没有改变原题目的（条件未知量已经数据），而转化法是改变的

二是探索分析法采用的是逻辑性思考方式，一步一步的分析（可以说是左脑的优势），具有连续性思维，寻找未知量和已知条件的关系

  而转化问题法采用非逻辑的思考方式（右脑的优势），跳跃性思维，诸如联想，想象，直观，美学原则，直觉，顿悟，猜测试探设想，特殊与普遍，极端与一般，简单与复杂，定性与定量，替代与变换等多种思维方式，其目的在于充分挖掘大脑与之相关的信息，利用这些信息达到对原问题的认识，从而解决原问题。

你经常碰到的一种情况是，某些题目不会做，但是经过别人讲解后，你会了，你也许会懊恼“我本该想到的”，也许对别人佩服得五体投地。其实这句“你会了”意味着每个步骤你是理解的，也就是该步骤方法本就存在于你的大脑中的所存在的模式，你只是没有想到而已，否则你根本就理解不了，就像对一个学生去用微积分的方法讲解一道题目，他根本就听不懂，因为他大脑里就不存在这样的东西。所以说你会了，听懂了，意味着你没有想到而已，而没有想到则体现着你思维方式及思维能力的不足。

我们转化问题后到底是为了获得什么

我们是为了获得新的问题的思路或者结果，然后利用思路或者结果对原问题进行试探验证。因为两个问题有所出入，所以这样的思路或者结果不一定是能够解决原问题的，所以要试探，只不过这种成功率比较高。

完全一样的问题，两个问题的思路和结果是一致的，有个问题关联度越高，思路和结果关联度就越高，反之越低。当我们用探索分析法解决不了的时候，就要用转化法，提出一个与原问题关联度高的问题，而该问题的思路或者结果是你知道的，于是就可以去试探验证。

该如何提出呢，有几种方法

特殊普遍极端对称

简单化

分解与重组

联想：类比，对立，相关等

替代与变换

以上述数学题为例

特殊极端的情况往往能体现事物的特殊性，比如AD过圆心就是一个特殊的位置，这个位置很大可能是最值的位置，利用第一种方法可以去猜测可能的结果，然后用该结果去验证。

又比如，对某些未定的量X进行具体化，以某些值代入，称为赋值法，这也是特殊化思维的体现。

关于对称，如果题目事物本身具有对称性，那么其结果也应当具有对称性，从这个角度去验证和猜测答案

简单化：对变化的因素进行固定化，可变变为恒定，多个因素变为较少的因素，事物较复杂，就简化一下（抓住主要特征，比如物理上质点概念的提出）。

比如，我们很多时候碰到两元函数，高中的化，一般是先固定一个变量，研究另一个。再比如，我们常常遇到关于数列问题，或者n很大的问题，你可以从n=1,2，较少的因素去分析，然后发现规律，再去用数学归纳法验证。

分解与重组：就是对已知数据未知量和条件进行改变或者对调，比如条件进行加强或者变弱的操作，或者对改变未知量。

比如施加AB=2，相当于加强条件，对于这样的问题你可能有方法步骤去求AD，从而为原问题AD的求解提供思路。也可以把AD看成已知=3，∠A看成未知，求∠A何时取到最大值。

这种方法通过可以使得原问题产生更多的问题，对后面要讲的回顾总结步骤有帮助，并且能够加深对原问题的理解

联想：类比联想更为有用，对原问题进行类比，获得思路或者结果。

比如求长方体对角线公式，这是三维的，类比二维公式，猜测其公式或者把三维转化为二维进行求解。

思维要发散出去，联想与原问题有相似的熟悉的问题。

替代与变换：有等值等价近似替代，同构，变换等。

比如七桥问题就是一个拓扑学问题，两个问题等价就可以互相转变，又比如我们通常的换元法，对式子进行变换，式子的结构就变成了熟悉的结构，等等。

说明：以上的各个方法我仅仅是简单了举了例子，还有许多地方没有详细讨论到，因为这里面更为细致的内容较多。感兴趣的可以去看看思维技术和怎样解题这些书，以上所有的来自于这两本书及其他杂七杂八的书和长期自我思考经验的总结而来的。你不一定要按照我的来，你需要尝试建立起自己的思考模型，毕竟这种东西只可意会不可言传。

 

表达思路步骤就不多说了，最后还要验证，验证的方法有多种，比如量纲分析，用多种方法验证等。

最后一步回顾总结最为关键，它是你解决问题的四大要素的提高的步骤。从以下三个点进行思考

1. 表达出你的思考过程（你是怎么想的）

2. 你能否一眼看出来，题目还有其他方法吗，该方法还能解什么样的题目呢

3. 对原问题进行改变，通过类比，分解重组，特殊化普遍化等对新的问题进行研究

首先第一点，如果你成功解决了问题，表达出思路，想象使得你成功解决的关键性因素是什么呢，四大要素的哪一点呢，你在哪些地方陷入困境，又是如何摆脱困境呢

如果你未能成功解决，那么你在哪个地方停滞不前呢，哪些因素造成的呢

以上述数学题为例，其中一个思路是：从条件得出A的轨迹是圆，D点确定，AD经过圆心最为特殊，想办法验证，画出一般的AD，设圆心为I，连接DI,AI，其构成了三角形，想到三角形三边的关系，于是验证成立。

我们考察这样一个思路，我为何能够知道A轨迹是圆（那是因为我对知识的理解深刻， 在初中学习到弦长对应的圆周角不变，我直观地想象了这一过程，而题目的条件就是符合这样的过程），使得我知道A轨迹是圆是因为我的知识。

D点为何被确定（对向量的知识的理解，包含方向及模长，通过直观的理解向量，便很快知道D点位置），这点也来自我的知识。

接下来我是为什么想到经过圆心的呢（那是因为在分析最值过程中，往往特殊极端的位置就是其存在的位置，这是因为我按照特殊极端的思维方式去思考的方向），这个思维方式技巧帮助了我。

接着我要想办法验证（来源于我的严谨性），我又是为何想到连接各个点的呢（这是来自经验和直觉，因为关于圆的问题，很多时候你会把点同圆心连接起来，初中的时候经常这么干，于是你尝试连起来）

最后一步如何想到用三角形三边关系呢（因为它形成了一个三角形，而AD是一边，另外两边固定，这些刺激了我大脑中关于三角形三边关系的知识）

经过上述的思维过程的表达及分析，其过程你会发现并不神秘，而是思维中自然而然的体现，是你四大要素能力的体现。

在这样的一个思路中如果你不知道A的轨迹是什么，不知道连接各个点，不知道D的位置，你这样的思路就受到阻断，而产生阻断的原因是四大要素的不足。

以A轨迹为例，你初中时候学习圆的知识，对其理解不够深刻，到了高中学习了正弦定理，和外接圆半径有关，你又对其理解不够深刻，你本该把这两个点串联起来的，因为你对知识的理解不够深刻直观，使得你对这个条件无法洞察它是什么，你也许通过其他知识求出A的轨迹方程，一看是圆方程，解决这个问题，但是在这个直观思路上面你被阻断了。

也许你因为四大要素某些的缺失导致这一思路阻断，或者因为有其他思路，使得你在该思路上封闭。

比如，你一开始就把这个问题看成函数问题，于是想法设法求出这个函数，考虑到建立坐标系解决平面问题是个可行的方法，你设A（x，y），你想要对这个条件进行翻译，比如你利用解析几何的方法接触XY方程，于是想方设法消去Y代入AD的式子，你发现你做不来，式子太复杂，从而阻断了该思路，是因为思路错了吗，不，它绝对可以解出最大值，只是因为你的知识，经验，思维技巧不足导致的。但凡用三角函数进行变换，但凡有了高等数学相关的知识，你是能够解决的。从这个角度看，四大要素决定了你方法的多样化。

所以当你陷入困境时，一种情况是因为你知识经验思维方式的不足引起的，而不在于这个题目无解或者这个大的思路不行。还有就是计算推理失误，没有充分利用所有条件（问一下自己我所有条件都用了吗）

建立这样一个信念：方法是许多的，只是我们能力的局限所造成方法的唯一，这会使得你不断地追求其他方法，比较方法之间的区别，判断哪些更好用。

还有关于良好的思维习惯是，当你某一个思路线索断了以后，一部分人会继续在该思路上陷入思考，从而过度主观，在该地方死磕，走不出来，这时候就思考：我审题有错误？是否出现失误？（计算，推理上的）大的思路方向有问题？大方向没问题的话，小方向能否改一下？

比如这道题中，你建立坐标系，求出AD表达式这个大方向没有问题，但是设XY，这个行不通（因为自己的能力），于是改变一下思路，我XY用三角函数去代替。

就像是你在走向一个终点，终点是在东面么，你的大方向是向东走是没错的，但是你直着走碰壁了，你带的工具（能力）不足以穿过这堵墙，这时你就要在旁边看一看有没有其他分支道路，绕着走就行了。

以上是我通过举例，分析思路该如何表达，我们能从这些分析过程中知道自己四要素哪些不足，从而提高这些要素，即提高解决问题的能力。

关于第二点，你是否一眼看出来，指的是你能否直观的看出来或者快速辨认出问题的模式是否是自己熟悉的问题。

如果你平常很多对问题进行一些抽象总结，有相应的方法步骤，那么你应该一眼看出来。比如我们经常碰到的函数类问题（取值范围，最值问题等）。

不满足于一种方法，寻找其他更为简便的方法，这样有助于你对问题进行多角度理解，每一个角度意味着一种方法

比如这道题从坐标系角度，从纯平面几何角度，从代数，从直观都意味着方法的不同，这样一来找出了比较简便的方法使得下次碰到同类问题，你就比别人更快的速度去解决。该方法还能解什么样的题目呢？比如建系可以解决几何问题，这就是解析几何角度，碰到几何问题都可以有这种思路。

关于第三点，尝试对问题进行普遍化，这个问题能否引申

比如对于1除（n乘n+1）进行列项，把分母中一换成k行不行。普遍化的过程没有一个最终的极限，只有更普遍而没有最普遍之说。

同理对问题进行特殊化。

后面关于分解重组与类比就不说了，总之通过对问题的改变，你会得出关于更普遍问题的方法步骤，加强问题与问题之间的联系，使得你以后碰到一个问题能够更快的辨认出其模式，能够更好的发散出去，转化问题。

也许有人会说你这么做很不效率，花的时间太多，我可以用这些时间多做一些题。很不幸，我要告诉你一个残忍的事实，其实不存在什么最有效率的方法使得你的大脑变聪明

大脑便聪明的主要度量就是你思考的时间量，如果说存在一些有效率的方法使得你的大脑便聪明，你很幸运，以上这些告诉了你，让你少走弯路。

我们其实一直在做同一道题目，可是我们一直都做不懂，比如一直在做求解题，作了很多函数类问题，做几何问题等等，可是你做了一千一万题之后，下一道题目你可能还是没有思路，这算是说你以前所做的都没有用吗，效率很低吗？现在你应该这这些问题有一定的思路，你通过掌握以上的方法，你对问题不再恐惧，产生了自信。

你也许通过对一到问题的深刻研究而能够具有解决一千一万道题目的能力，恭喜你，你成功了，你思考及解决问题的能力达到了很高的境界了，我上面所说的将为你提供这样的路径，细读它，实践它，再重新理解它，反反复复！

以上模型不仅仅是关于问题解决，同样也适用于问题分析和事物分析方面。可以看成是一套思考体系

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