R语言建模收入不平等：分布函数拟合及洛伦兹曲线(Lorenz curve)

原文链接：http://tecdat.cn/?p=20613

洛伦兹曲线来源于经济学，用于描述社会收入不均衡的现象。将收入降序排列，分别计算收入和人口的累积比例。
本文，我们研究收入和不平等。我们从一些模拟数据开始

> (income=sort(income))
[1] 19246 23764 53237 61696 218835

为什么说这个样本中存在不平等？如果我们看一下最贫穷者拥有的财富，最贫穷的人（五分之一）拥有5％的财富；倒数五分之二拥有11％，依此类推

> income[1]/sum(income)
[1] 0.0510
> sum(income[1:2])/sum(income)
[1] 0.1140

如果我们绘制这些值，就会得到 洛伦兹曲线

> plot(Lorenz(income))
> points(c(0:5)/5,c(0,cumsum(income)/sum(income))

现在，如果我们得到500个观测值。直方图是可视化这些数据分布的方法

> summary(income)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
2191 23830 42750 77010 87430 2003000
> hist(log(income),

在这里，我们使用直方图将样本可视化。但不是收入，而是收入的对数（由于某些离群值，我们无法在直方图上可视化）。现在，可以计算 基尼系数 以获得有关不平等的一些信息

> gini=function(x){

+ mu=mean(x)
+ g=2/(n*(n-1)*mu)*sum((1:n)*sort(x))-(n+1)/(n-1)

实际上，没有任何置信区间的系数可能毫无意义。计算置信区间，我们使用boot方法

> G=boot(income,gini,1000)
> hist(G,col="light blue",border="white"

红色部分是90％置信区间，

5% 95%
0.4954235 0.5743917

还包括了一条具有高斯分布的蓝线，

> segments(quantile(G,.05),1,quantile(G,.95),1,

> lines(u,dnorm(u,mean(G),sd(G)),

另一个流行的方法是帕累托图（Pareto plot），我们在其中绘制了累积生存函数的对数与收入的对数，

> plot(x,y)

如果点在一条直线上，则意味着可以使用帕累托分布来建模收入。

前面我们已经看到了如何获得洛伦兹曲线。实际上，也可以针对某些参数分布（例如，一些对数正态分布）获得Lorenz曲线，

> lines(Lc.lognorm,param=1.5,col="red")
> lines(Lc.lognorm,param=1.2,col="red")
> lines(Lc.lognorm,param=.8,col="red")

在这里， 对数正态分布是一个很好的选择。帕累托分布也许不是：

> lines(Lc.pareto,param=1.2,col="red")

实际上，可以拟合一些参数分布。

shape rate
1.0812757769 0.0140404379
(0.0604530180) (0.0009868055)

现在，考虑两种分布，伽马分布和对数正态分布（适用于极大似然方法）

shape rate
1.0812757769 0.0014040438
(0.0473722529) (0.0000544185)
meanlog sdlog
6.11747519 1.01091329
(0.04520942) (0.03196789)

我们可以可视化密度

> hist(income,breaks=seq(0,2005000,by=5000),
+ col=rgb(0,0,1,.5),border="white",
+ fit_g$estimate[2])/1e2
+ fit_ln$estimate[2])/1e2
> lines(u,v_g,col="red",lwd=2)
> lines(u,v_ln,col=rgb(1,0,0,.4),lwd=2)

在这里，对数正态似乎是一个不错的选择。我们还可以绘制累积分布函数

`> plot(x,y,type="s",col="black",xlim=c(0,250000))

+ fit_g$estimate[2])

+ fit_ln$estimate[2])
> lines(u,v_g,col="red",lwd=2)`


现在，考虑一些更现实的情况，在这种情况下，我们没有来自调查的样本，但对数据进行了合并，

对数据进行建模，

fit(ID=rep("Data",n),

Time difference of 2.101471 secs
for LNO fit across 1 distributions

我们可以拟合对数正态分布（有关该方法的更多详细信息，请参见 从合并收入估算不平等 的方法）

`> y2=N/sum(N)/diff(income_binned$low)

+ fit_LN$parameters[2])
> plot(u,v,col="blue",type="l",lwd=2)
> for(i in 1:(n-1)) rect(income_binned$low[i],0,
+ income_binned$high[i],y2[i],col=rgb(1,0,0,.2),`


在此，在直方图上（由于已对数据进行分箱，因此很自然地绘制直方图），我们可以看到拟合的对数正态分布很好。

> v <- plnorm(u,fit_LN$parameters[1],
+ fit_LN$parameters[2])

> for(i in 1:(n-1)) rect(income_binned$low[i],0,

> for(i in 1:(n-1)) rect(income_binned$low[i],
+ y1[i],income_binned$high[i],c(0,y1)[i],

对于累积分布函数，我考虑了最坏的情况（每个人都处于较低的收入中）和最好的情况（每个人都具有最高可能的收入）。

也可以拟合广义beta分布

GB_family(ID=rep("Fake Data",n),

为了获得最佳模型，查看

> fits[,c("gini","aic","bic")]

结果很好，接下来看下真实数据：

fit(ID=rep("US",n),

+ distribution=LNO, distName="LNO"
Time difference of 0.1855791 secs
for LNO fit across 1 distributions

同样，我尝试拟合对数正态分布

> v=dlnorm(u,fit_LN$parameters[1],

> plot(u,v,col="blue",type="l",lwd=2)
> for(i in 1:(n-1)) rect(data$low[i],

但是在这里，拟合度很差。同样，我们可以估算广义beta分布

>
GB_family(ID=rep("US",n),

+ ID_name="Country")

可以得到基尼指数，  AIC 和BIC

gini aic bic
1 4.413431 825368.5 825407.3
2 4.395080 825598.8 825627.9
3 4.451881 825495.7 825524.8
4 4.480850 825881.7 825910.8
5 4.417276 825323.6 825352.7
6 4.922122 832408.2 832427.6
7 4.341036 827065.2 827084.6
8 4.318667 826112.8 826132.2
9 NA 831054.2 831073.6
10 NA NA NA

看到最好的分布似乎是 广义伽玛分布。

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