椭圆离心率取值范围解题策略
离心率是高中“圆锥曲线”的一个重要几何性质，是三种圆锥曲线统一定义的桥梁和纽带，是研究圆锥曲线其他性质的基础，它是一个比值
椭圆的离心率是刻画椭圆“扁圆”程度的基本量之一.在我们的教材中直接给出了离心率的定义，并没有明确解释为什么把
这个比值作为椭圆的离心率.如果教师在教学中只是告诉学生这是“人为规定”，学生没有经历概念的产生和发展过程，就很难理解概念的本质，因此在运用概念解题时无从下手.本节课就是希望通过数学文化背景深入认识椭圆的离心率，从而更好地解决和椭圆离心率有关的问题.
一、离心率定义的内涵
在教材中焦距与长轴长的比值
定义为椭圆的离心率.在教学中，许多学生会有这样的疑问：
也可以刻画椭圆的扁圆程度，为什么不用它们定义椭圆的离心率？”其实
作为椭圆的离心率更有优势，我们知道椭圆是平面上到两个定点F1，F2距离的和为常数2a的动点的轨迹(其中|F1F2|=2c，且2a>2c)，此定义中涉及的参数是a和c，为了和椭圆的定义保持一致，所以用
表示椭圆的离心率；另外，椭圆的第二定义是“到定点的距离与到定直线的距离的比值为常数的动点的轨迹”，而这个常数恰好是
即椭圆的离心率.
其实说椭圆的离心率是“人为规定”也未尝不可，因为在天文学中把天体运行轨道的离心率也叫作偏心率，描述的是某一天体椭圆轨道与理想圆形的偏离程度.天文学家发现太阳系中，行星是围绕着以太阳为焦点的椭圆形轨道运行的，所以行星和太阳之间的距离不是恒定的，其中离太阳最近的距离为a-c，离太阳最远的距离为a+c，也就是说偏心率就是衡量行星偏离太阳的程度，所以用
表示椭圆的偏心率更符合客观实际.
二、椭圆离心率取值范围的几种求法
求椭圆离心率的取值范围是高考经常考查的热点问题之一，这类题涉及解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强、方法灵活，解题关键是构造关于a，c或e的不等式，下面用几个实例通过构造不等式求椭圆离心率的取值范围.
1.利用椭圆的范围构造不等式
例1 设椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=90°，求椭圆离心率e的取值范围.
解：设点P的坐标为(x，y)，点F1的坐标为(-c，0)，点F2的坐标为(c，0)，则有
因为∠F1PF2=90°，得
则
即(x+c)(x-c)+y2=0，整理得x2+y2=c2，将其与椭圆方程联立，消去y，可得
由椭圆上点的坐标的范围可知，0≤x2<a2，解得c2≥b2，即
所以
2.利用二次方程判别式构造不等式
以上题为例.
解：由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a，所以有
+2|PF1|·|PF2|=4a2，又因为∠F1PF2=90°，所以
=4c2，由此可得|PF1|·|PF2|=2(a2-c2)，所以|PF1|，|PF2|可以看作二次方程x2-2ax+2(a2-c2)=0的两实根.
所以Δ=4a2-8(a2-c2)≥0，整理得
所以
3.利用焦半径的取值范围构造不等式
例2 已知椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上存在一点P，使得线段PF1的中垂线经过焦点F2，则椭圆离心率e的取值范围是______.
图1
解：如图1，因为线段PF1的中垂线经过焦点F2，所以|PF2|=|F1F2|=2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|=2c.
所以|PF2|=2c≥a-c，所以a≤3c，所以
即
4.利用均值不等式构造不等式
例3 设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一点M都满足∠F1MF2为锐角，则椭圆离心率的取值范围是( ).
解：因为
又因为∠F1MF2为锐角，所以
又因为
-4c2=(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1||MF2|-4c2>0，所以|MF1||MF2|<2a2-2c2，由均值不等式得
所以a2<2a2-2c2，解得
所以
图2
5.利用椭圆中重要结论构造不等式
以上题为例.
解：如图2，当M移动到椭圆的短轴的端点B时，∠F1MF2最大.
由已知可知，∠F1BF2为锐角，即∠F1BO<45°，在Rt△F1BO中，
所以
6.利用题设中的已知条件构造不等式
例4 已知椭圆
的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：5x-12y=0交椭圆于A，B两点，若|AF|+|BF|=6，点M到直线l的距离不小于
则该椭圆E的离心率的取值范围是( ).
图3
解：如图3所示，设F1为椭圆的左焦点，连接AF1，BF1，则四边形AFBF1为平行四边形，所以6=|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a，所以a=3.取M(0，b)，因为点M到直线l的距离不小于
所以
解得b≥1，所以
又因为0<e<1，所以椭圆E的离心率的取值范围是
故选A.
在新一轮课改的实施过程中，作为数学教师，需要在平时的教学中，适时地引导学生探究出问题的本源，只有这样深入才能使学生更容易掌握解决问题的方法.而椭圆离心率取值范围的解法灵活多样，综合性强，需要我们认真分析题意，探究问题本源，才能找到最佳突破口，从而准确、快速地解决问题.
参考文献：
[1]王侠.椭圆离心率的深入认知及基本求法[J].中小学数学，2013(4).
[2]黄贻淦.如何建立不等式求离心率的范围[J].数理化解题研究，2012(2).
[3]林风，林善柱.数学概念教学要重视其生成过 程——“椭圆离心率及其应用”的教学思考[J].中学数学教学参考(上)，2017(12).
*基金项目：本文系2018年度甘肃省教育科学“十三五”规划重点课题“基于核心素养下的数学史融入高中数学教学的实践”(课题编号：GS[2018]GHB3863)的阶段性成果之一.