椭圆离心率取值范围解题策略

离心率是高中“圆锥曲线”的一个重要几何性质,是三种圆锥曲线统一定义的桥梁和纽带,是研究圆锥曲线其他性质的基础,它是一个比值

椭圆的离心率是刻画椭圆“扁圆”程度的基本量之一.在我们的教材中直接给出了离心率的定义,并没有明确解释为什么把

这个比值作为椭圆的离心率.如果教师在教学中只是告诉学生这是“人为规定”,学生没有经历概念的产生和发展过程,就很难理解概念的本质,因此在运用概念解题时无从下手.本节课就是希望通过数学文化背景深入认识椭圆的离心率,从而更好地解决和椭圆离心率有关的问题.

一、离心率定义的内涵

在教材中焦距与长轴长的比值

定义为椭圆的离心率.在教学中,许多学生会有这样的疑问:

也可以刻画椭圆的扁圆程度,为什么不用它们定义椭圆的离心率?”其实

作为椭圆的离心率更有优势,我们知道椭圆是平面上到两个定点F1,F2距离的和为常数2a的动点的轨迹(其中|F1F2|=2c,且2a>2c),此定义中涉及的参数是a和c,为了和椭圆的定义保持一致,所以用

表示椭圆的离心率;另外,椭圆的第二定义是“到定点的距离与到定直线的距离的比值为常数的动点的轨迹”,而这个常数恰好是

即椭圆的离心率.

其实说椭圆的离心率是“人为规定”也未尝不可,因为在天文学中把天体运行轨道的离心率也叫作偏心率,描述的是某一天体椭圆轨道与理想圆形的偏离程度.天文学家发现太阳系中,行星是围绕着以太阳为焦点的椭圆形轨道运行的,所以行星和太阳之间的距离不是恒定的,其中离太阳最近的距离为a-c,离太阳最远的距离为a+c,也就是说偏心率就是衡量行星偏离太阳的程度,所以用

表示椭圆的偏心率更符合客观实际.

二、椭圆离心率取值范围的几种求法

求椭圆离心率的取值范围是高考经常考查的热点问题之一,这类题涉及解析几何、平面几何、代数等多个知识点,综合性强、方法灵活,解题关键是构造关于a,c或e的不等式,下面用几个实例通过构造不等式求椭圆离心率的取值范围.

1.利用椭圆的范围构造不等式

例1 设椭圆

的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在点P,使得∠F1PF2=90°,求椭圆离心率e的取值范围.

解:设点P的坐标为(x,y),点F1的坐标为(-c,0),点F2的坐标为(c,0),则有

因为∠F1PF2=90°,得

即(x+c)(x-c)+y2=0,整理得x2+y2=c2,将其与椭圆方程联立,消去y,可得

由椭圆上点的坐标的范围可知,0≤x2<a2,解得c2≥b2,即

所以

2.利用二次方程判别式构造不等式

以上题为例.

解:由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,所以有

+2|PF1|·|PF2|=4a2,又因为∠F1PF2=90°,所以

=4c2,由此可得|PF1|·|PF2|=2(a2-c2),所以|PF1|,|PF2|可以看作二次方程x2-2ax+2(a2-c2)=0的两实根.

所以Δ=4a2-8(a2-c2)≥0,整理得

所以

3.利用焦半径的取值范围构造不等式

例2 已知椭圆

的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆上存在一点P,使得线段PF1的中垂线经过焦点F2,则椭圆离心率e的取值范围是______.

图1

解:如图1,因为线段PF1的中垂线经过焦点F2,所以|PF2|=|F1F2|=2c,即椭圆上存在一点P,使得|PF2|=2c.

所以|PF2|=2c≥a-c,所以a≤3c,所以

4.利用均值不等式构造不等式

例3 设F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上任意一点M都满足∠F1MF2为锐角,则椭圆离心率的取值范围是( ).

解:因为

又因为∠F1MF2为锐角,所以

又因为

-4c2=(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1||MF2|-4c2>0,所以|MF1||MF2|<2a2-2c2,由均值不等式得

所以a2<2a2-2c2,解得

所以

图2

5.利用椭圆中重要结论构造不等式

以上题为例.

解:如图2,当M移动到椭圆的短轴的端点B时,∠F1MF2最大.

由已知可知,∠F1BF2为锐角,即∠F1BO<45°,在Rt△F1BO中,

所以

6.利用题设中的已知条件构造不等式

例4 已知椭圆

的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:5x-12y=0交椭圆于A,B两点,若|AF|+|BF|=6,点M到直线l的距离不小于

则该椭圆E的离心率的取值范围是( ).

图3

解:如图3所示,设F1为椭圆的左焦点,连接AF1,BF1,则四边形AFBF1为平行四边形,所以6=|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a,所以a=3.取M(0,b),因为点M到直线l的距离不小于

所以

解得b≥1,所以

又因为0<e<1,所以椭圆E的离心率的取值范围是

故选A.

在新一轮课改的实施过程中,作为数学教师,需要在平时的教学中,适时地引导学生探究出问题的本源,只有这样深入才能使学生更容易掌握解决问题的方法.而椭圆离心率取值范围的解法灵活多样,综合性强,需要我们认真分析题意,探究问题本源,才能找到最佳突破口,从而准确、快速地解决问题.

参考文献:

[1]王侠.椭圆离心率的深入认知及基本求法[J].中小学数学,2013(4).

[2]黄贻淦.如何建立不等式求离心率的范围[J].数理化解题研究,2012(2).

[3]林风,林善柱.数学概念教学要重视其生成过 程——“椭圆离心率及其应用”的教学思考[J].中学数学教学参考(上),2017(12).

*基金项目:本文系2018年度甘肃省教育科学“十三五”规划重点课题“基于核心素养下的数学史融入高中数学教学的实践”(课题编号:GS[2018]GHB3863)的阶段性成果之一.

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