一题一研：再探圆锥曲线“特征点”
解析几何的学习，已经接近尾声了。
其实很多时候，回想这段的学习过程，总感觉是有点意尤未尽的。
因为，解几里的东西，说多不多，说少也确实是不少的。
可是，讲的东西确实太少了。
尤其，圆锥曲线中很多的结论和感觉，总觉得不吐不快。
这不，前些天做卷就遇到了下面这个题。
明眼人一看，
这也实在太明显，
考查圆锥曲线的特征点嘛。
可是该不该深讲呢？
真的是个问题。
这题的解题思路，
其实再正规不过了。
因为解析几何的基本思想，
就是几何问题代数化，
解题时，
见到几何条件就转化，
一定是符合核心的解题思路的。
可是这题一看很明显嘛，
不就是考查圆锥曲线的特征点喽。
所以在设直线时看见没？
我果断设成了横截距式了。
那么，
有没有同学会想的深一点，
为什么会这么设直线呢？
如果要讲细点，
是要回到2018年的。
如果注意比较下，
有没有发现，
两个题是完全一样的呢?
或者说，
这个高考题才是引例的原型吧。
因为稍做下改进，
两者其实真的是一样的。
在高考图中连一条线，
真的完全就完全一样了。
只是条件变成了结论而已。
2018年的高考题，
其实有很多证明方法的。
但不论何种思路，
其实都万变不离其宗。
这种思路其实挺简单了，
见条件就转化呗。
只是对于同一个几何条件，
视角不一样，
可能思路或计算量上，
也会有很大的区别。
这种解法，
估计是很多同学不敢想象的吧。
确实，
计算量太大了！
不过也体现了解析几何题的呆板，
只要转化思路没问题，
就一定能够计算出来的。
只是这种硬解，
挺考验咱们计算能力的。
嗯，
这就好多了，
第二定义加上三角形角平分线性质，
应该算是真正的几何法了。
其实，
角平分线，
倒是经常考的一个知识点，
和三角形的中线一样，
还是应该掌握其处理方法为好。
其实说来说去，
就为表明一个事实：
椭圆的准线与长轴交点是一个极特殊的点，
因为经过该点的直线与椭圆两交点，
与相应焦点的连线斜率，
一定互为相反数的。
很自然的，
爱思考的同学们，
一定会考虑双曲线和抛物线了，
同为圆锥曲线，
它们应该也有相似甚至相同的结论的吧！
首先，
还是得验证下这个结论的正确性的。
其实，
从证明的过程可以看出，
因为用到了第二定义，
只要焦半径与准线的位置对应，
结论与交点的位置其实是无关联的。
所以，
也就无谓交点在两支还是一支的考量。
也就是说，
椭圆的这个结论，
在双曲线中是完全适用的！
连证明思路，
也基本都是一样的。
当然，
这是不是仅因为椭圆与双曲线的相似性，
才有的结论呢？
对于抛物线来说，
结论还能不能适用？
原来，
因为椭圆、双曲线与抛物线，
都叫“圆锥曲线”，
所以这个准线与对称轴的交点，
都满足了同一种性质。
这个点确实也是够特殊的。
我们一般称之为，
圆锥曲线的“特征点”。
这也是圆锥曲线，
共同的特征哦！
其实，
写到这的时候，
不知为什么，
突然想起很久以前的2015年……
突然想起这个题，
主要还是因为这个结论，
是不是和特征点的性质很相似了呢？
如果细究下，
更重要的，
却是因为直线过的点(0,a)，
不再是焦点，
但却依然有着相似的结论。
其实，
这就有点意思了。
因为在这个结论下，
2018年的高考椭圆，
应该只是对它特例的研究吧。
所以，
也有必要研究下，
它的一般情况哦。
上面的结论，
是不是告诉我们，
一个重要且更一般性的结论呢？
嗯，
确实，
当然，
也可以转化为前面我们熟悉的，
特征点的样子：
哈哈，
果真的，
当点T为焦点时，
点M是不是就是特征点了呢！
再总结下结论：
已知点T坐标为(t,0)
一条直线与椭圆交于A，B两点,
若kAT+kBT=0,
则直线AB过定点，
记住定点坐标一定是：
还要记住，
反之依然成立哦 ！
双曲线呢？
应该也有类似的结论吧？
只是结论还是完全相同的么？
从上面的图形可以看出，
依然是会存在一个点M满足条件的。
如果详细推导一下，
会发现结论果真是与椭圆相同的。
也就是说：
反之依然成立哦！