第21讲 典型例题与练习参考解答：曲率与方程的近似解
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第21讲：曲率与方程的近似解
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例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：计算曲线在点处的曲率.
练习2：试问椭圆 在何处曲率最大(其中)？
练习3：求圆滚线 上点 处的曲率.
练习4：求的曲率半径 ，并分析何处 最小?
练习5：如果两曲线 及 在点 处有
及 ，则称这两曲线在点 处有 阶相切（或 阶接触）. 设圆周
与已知曲线在点处有不低于二阶的相切，试推导出圆的半径 及中心 的表达式（假定 ）.
练习6：求摆线 的渐屈线方程.
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：计算曲线在点处的曲率.
【参考解答】：由, . 代入 ，得 , . 故由曲率计算公式，得
练习2：试问椭圆 在何处曲率最大(其中)？
【参考解答】：【思路一】 由参数方程求导方法，有
由曲率计算公式，得
问题转换为求函数
的最小值. 令
则在区间内得 . 于是计算 , , , , 的值，得五点的函数值分别为, , , , . 由于 ，故最小值为. 即
也即椭圆在点 处曲率最大.
【思路二】 椭圆的直角坐标方程为
则由隐函数求导方法，得
代入曲率计算公式，且由 ，得
得 .
练习3：求圆滚线 上点 处的曲率.
【参考解答】：由参数方程求导方法，可得
在点处对应的参数，故在该点处有
所以，该点的曲率为
练习4：求的曲率半径 ，并分析何处 最小?
【参考解答】：由, ，则由曲率半径计算公式，有
故当 时曲率半径取最小值，且最小值为 .
练习5：如果两曲线 及 在点 处有
及 ，则称这两曲线在点 处有 阶相切（或 阶接触）. 设圆周
与已知曲线在点处有不低于二阶的相切，试推导出圆的半径 及中心 的表达式（假定 ）.
【参考解答】：由圆的方程两边对 求一次、二次导数，得
由此解得
代入圆的方程并化简得
由于在已知在点 处，
从而可得圆心坐标和半径分别为
【注】：以上计算得到的圆即为函数 描述的曲线在点 处的曲率圆，得到的圆心坐标和半径分别为曲率中心的计算公式和曲率计算公式.
练习6：求摆线 的渐屈线方程.
【参考解答】：曲线的渐屈线方程即曲线的曲率中心形成的轨迹. 曲率中心坐标的计算公式为
由参数方程求导方法，得
代入以上公式则得曲率中心的参数方程
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