三分损益法之详细分析

虽然律学是学习乐器制作所必须精通的学科，但是如果我们能掌握一些律学的基本知识，对我们学习音乐理论以及对乐器的认识有很大的帮助。一般讲基础乐理的教科书都会简单介绍三种生率法，即五度相生率、纯率和十二平均律。通常在讲到五度相生率的时候一般会介绍我国古代使用的三分损益法：将一根弦的弦长度减少它本身的三分之一，将产生这根弦音上方纯五度的音，将一根弦的弦长度增加它本身的三分之一，将产生这根弦下方纯四度的音。那么为什么会这样呢，我们下面做详细的分析。

首先介绍一下五度相生率，一根弦在振动的时候，不光它本身振动会发声，它的1/2,1/3,1/4,...1/n处也在振动发声，通常我们听到的声音就是所有这些振动共同发出的声音，我们把他们叫做复合音，而我们把弦本身振动所发出的声音叫做第一分音，1/2处振动发出的声音叫做第二分音，1/3处振动发出的声音叫做第三分音，以此类推，1/n处振动发出的声音叫做第n分音。五度相生率即第三分音是第二分音上方纯五度。有人会问为什么这样？这是人类在漫长的音乐探索中发现的规律，就和我们知道一年为什么是365天一样。假设弦的长度为1，那么产生第二分音的弦的长度就是1/2,产生第三分音的弦的长度就是1/3.弦的长度比为1/2比1/3，即长度比为3比2。我们知道频率和长度成反比，俩根弦的频率比为2比3。那么此时就可以推出，如果俩根弦的长度比如果是3比2，那么第二根弦振动产生的音将是第一根弦上方纯五度。

再回到我国古代使用的三分损益法，假设一根弦长1，那么减少它本身的1/3后，长度变成了2/3,长度比为3比2，符合五度相生率的规律。这点我们可以很容易理解了。

那么还有为什么增加弦本身长度的1/3，将产生这根弦下方纯四度的音呢？在此也做一下分析。假设弦的长度为1，那么增加弦长1/3后的弦我们称做弦1，弦1长度变成4/3。减少1/3后的弦我们称做弦2，弦2长度变成2/3。弦1和弦2的长度比为：

弦1长度:弦2长度=4/3:2/3 = 2:1

频率比为长度比的反比，即

弦1频率:弦2频率=1:2

此时我们再引入一个定律，如果俩根弦的振动频率比为整数的时候，这俩根弦的音为同音的不同8度。如果俩根弦的频率比为2的时候，这俩个音为相邻8度的相同音。

假设弦1的音为g话，那么弦2的音为g1,即弦二的音比弦1高一个8度。

根据上面的理论，我们假设未增加和减少前的弦音为c1,那么减少1/3后产生的音为g1,增加1/3产生的音为比g1低一个8度的g.此时，我们可以看出g处于c1的下方纯四度。

c,d,e,f,g,a,b,c1,d1,e1,f1,g1,a1,b1

这是我们也证明了书上的那句话，即：

将一根弦的弦长度减少它本身的三分之一，将产生这根弦音上方纯五度的音，将一根弦的弦长度增加它本身的三分之一，将产生这根弦下方纯四度的音。

在和声学中，上面这种关系即“4、5度根音关系“，我们在做4度下行的时候，也可以用5度上行来代替，因为4度下行和5度上行的音只是同音的相邻8度。