2020荷兰IMO代表队选拔考试 -中文翻译
2.求所有实系数多项书 ,使得 .
3.对正整数, 为了在 的网格中放置的骨牌各一个, 需要将其中恰好 个单元格染成红色, 使得我们既可以将这个骨牌全部水平放置,并覆盖所有红色单元格, 也可以将这个骨牌全部垂直放置,并覆盖所有红色单元格.问这样的染色方法有多少种.
注: 通过旋转或翻折所得到的染色方法视为不同的.
4.已知正整数 且. 设 为可以表示为 的最小正实数, 其中正整数 和 满足 , . 求证: 为整数.
第二天
1.给定实数 (不一定互异).对任意 , 设 为多项式的最小实根(如果有的话) 已知对任意, 都存在.
证明 对任意 成立.
2.黑板上写有这999个整数,每个各一个.甲乙两人用这些数玩游戏, 规则如下: 由甲先开始, 两人轮流从黑板上选取互质的两个数, 将他们擦除, 并写下他们的和. 当有人无法进行操作时, 另一人获胜. 问谁有必胜策略.
3.求所有的正整数对 ,使得 .
其中 表示集合 中满足的正整数 的个数.
4.锐角 中, 过作垂线, 过作垂线, 两种交于.过作垂线, 过作垂线, 两种交于. 过作外接圆的切线,两者交于P.求证: .
第三天
1.对正整数 , 设 表示其正因数的个数.求所有的正整数 , 使得存在正整数 和 ,满足 .
2. 内接于圆 ,且 . 在劣弧上 , 有一个动点 . 设 为 关于 平分线的对称点. 证明直线 经过一个与无关的定点.
3.求所有函数 , 使得
对任意 成立.
4.给定正整数,其中 .甲乙两人在一块的板上玩游戏.
甲说: 我可以在这块板上放置个的长条.
乙说:那太简单了,不如加个条件吧, 我来规定每个长条是水平放置还是垂直放置. 并且所有的长条不能重,也不能超出板的范围.
甲说:没问题.求的最大值.
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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。
这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。