三角形（十七）

初中平面几何的辅助线作法除了那十个字（取中作平连对角延一倍）以外，还有一种具有比较明显的辅助线的作法：截长补短。

这种题目往往有着很明显的特征，题设条件或者要证明的结论中包含有和或者差，这时候一般就考虑截长补短法。

我们来看一个简单的例子。

已知AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C。

像AC=AB+BD这种条件，简直就是在图上有闪闪发光的大字：快使用截长补短法，hoho哈嘿！

当然也有极少极少这种形式的条件或者结论不能用这种添加辅助线方法的，但是相信我，你们几乎没有机会碰到——因为太难了。

注意到AD是角平分线，所以∠BAD=∠CAD，AD是公共边，于是再来一条边就能有三角形全等出来了。在AC上截取AE，使得AE=AB就成了必然的选择。

此时我们可以得到△ABD全等于△AED。等等，最后的结论是什么？∠B=2∠C。做的一时兴起干脆连结论都忘了。注意到EC=BD，而BD=DE，所以EC=DE，∠C=∠EDC，而∠B=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，命题得证。

思路是不是很清楚？

之所以不把这个归纳到常用的辅助线作法中去，就是因为实在太明显了，以至于没有归纳的必要——对，确实不配拥有姓名。

当然，这个题目我们也可以把AB延长到E，使得BE=BD，连接DE，也可以得到最后的结论，读者可以自行完成证明。

我们再看一个例子。

如图，在四边形ABCD中，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，AE=(AB+CD)/2，求证：∠ABC+∠ADC=180°。

虽然这个条件中有和式，但是似乎有些不一样——多了个1/2，这时候该怎么截，怎么补呢？

我们不妨改写一下条件AE=(AB+CD)/2，变成2AE=AB+CD，我们把等式移项就变成了AB-AE=AE-AD，即BE=AE-AD，是不是就出来熟悉的截长补短了？

我们在EA上截取EF=BE，然后先后证明△BEC全等于△FEC，然后再证明△FAC全等于△DAC，就可以得到最后的结果了。

我们再来看一个有趣的情形。

已知△ABC是正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于E，交AC于F，连接EF。求证：BE+CF=EF。

很显然，我们应该用截长补短的方法来添加辅助线。如果我们考虑在EF上截取EG=BE，试图证明FG=FC，这是不是一个好办法呢？

要证明FG=FC，很显然要证明△FGD全等于△FCD，我们有一条公共边DF，其他的似乎没有了。

然而，如果我们能证明△BED全等于△GED的话，那么可以得到BD=DG，从而DG=DC，同时，由∠EDG+∠GDF=60°=∠BDE+∠FDC，且∠EDG=∠BDE知，∠GDF=∠FDC，于是△BED就全等于△GED了。

注意，是如果。

事实上，我们在证明△BED全等于△GED的过程中会发现，ED公用，BE=EG以外，关键的夹角相等是无法证明的，所以截长的路不通，于是我们只能通过补短的方法。

这是非常考验学生的一道题。一般说来能用截长的也可以用补短，但是对于少数特殊情况是有困难的，这个例子就是少数情况。如果孩子截长失败以后，作为家长应该提醒孩子，这时候就是该转弯的时候，可以试试补短。我们延长FC到G’，使得CG’=BE，容易证明△EBD全等于△G’CD，得到ED=G’D，∠EDB=∠CDG’，于是∠FDG’=60°，然后得到△FED全等于△FG’D，于是EF=FG’，命题得证。

截长补短需要注意的地方在于：认清特征，如果一种方法不行，考虑换一种，千万别一棵树上吊死。