2021Tuymaada国际数学竞赛 初级组 中文翻译

Tuymaada 国际数学竞赛是在俄罗斯萨卡举办的一项针对18 岁以下中学生的

区域性竞赛活动. 该竞赛每年七月举行, 分初级组和高级组两个组别, 每个组别

比赛两天, 每天四道题.以下是2021年Tuymaada国际数学竞赛初级组的试题.  其中部分题目为 2021Tuymaada国际数学竞赛 高级组中的题目或其简化版.

第一天

1.二次三项式 和满足， 对任意实数,均有

求证: 对任意实数,均有

2.平行四边形中, 的内角平分线与对角线交于点, 的外角平分线与直线交于点, 取中点, 求证: .

3.对个互异的正整数, 考虑他们两两相加所得的个和. 对每一个和, 如果原有的正整数中有比它小的数可以整除它,就把这个数写在黑板上. 那么, 黑板上至多可以写多少个数?
注: 例如,原有的个数是, 所得的和是, 那么会在黑板上被写次,此时黑板上写的数是.

4.某郡有若干个庄园, 其中一些庄园之间有道路相连. 两个通过道路直接连接的庄园称为邻居.
现在需要在每个庄园中放置一位骑士(永远说真话)或者一位骗子(永远说假话). 是否对任意情况, 都可以有一种放置方案, 使得每个庄园的居住者, 都可以说出这句话"我的邻居中, 骗子的个数至少是骑士个数的两倍", 且这句话符合其身份?

第二天

5.在一个 的网格表. 任意标记其中个单元格后. 是否一定可以通过若干行列变换(行变换即交换其中两行的位置, 列交换即交换其中两列的位置), 将所有被标记的单元格移至主对角线的一侧, 或主对角线上?

6.对给定实数, 正整数满足, 其所有素因数都不超过. 求证: 可以表示为个不超过的正整数(不一定是素数,可以是)的乘积.

7.有一堆石头, 共 个. 对其进行如下操作:
在每一步中, 任选一堆石头, 将其分为两堆, 且这两堆石头的个数的差为的非负整数次幂.
经过若干步之后, 每堆石头的个数均为的非负整数次幂.
求证:到达该状态所需的步数为偶数.

8.给定锐角, 其中, 垂心为, 过的高与的外角平分线分别交于点. 的外角平分线与线段分别交于点. 若, 求证.