干货 | 圆锥曲线的定义辨析以及利用定义求距离之和的最值

圆锥曲线的定义

1、圆:平面中,到定点的距离等于定长r(r>0)

2、椭圆:在平面中,到两定点F1、F2的距离之和为常数2a(2a>|F1F2|)

简单地,①平面中;

②|MF1|+|MF2|=2a;

③2a>2c

3、双曲线:在平面中,到两定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a(2a<|F1F2|)

简单地,①平面中;

②||MF1|-|MF2||=2a;

③2a<2c

4、抛物线:平面中,到定点F与定直线的距离相等(F不在定直线上)

简单地,①平面中;
②d=|MF|;

③F不在直线上

【注意】椭圆、双曲线与抛物线的定义容易忽略第③点,导致判断出错

定义辨析

1、已知A(-1,0)、B(1,0)为平面上的两个定点,动点P到A、B两点距离之和为常数2,点P的轨迹是____.

【错误】|PA|+|PB|=2(常数),则轨迹为椭圆。

错因:忽略2a>2c

【答案】|AB|=2,而动点P到A、B两点距离之和为2,也是2,2a=2c,故点P的轨迹不是椭圆,线段AB.

2、已知F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a为3和5时,点P的轨迹分别为( )

A.双曲线和一条直线

B.双曲线和一条射线

C.双曲线的一支和一条直线

D.双曲线的一支和一条射线

【错误】|PF1|-|PF2|=2a(常数),所以其轨迹双曲线一支。

错因:忽略2a<2c

【答案】依题意得|F1F2|=10,

当a=3时,2a=6<|F1F2|,且|PF1|-|PF2|=6>0,点P的轨迹为双曲线的右支;

当a=5时,2a=10=|F1F2|,故点P的轨迹为一条射线.故选D.

3、平面中,动点M到点P(-1,0)与x=-1的距离相等,则点M的轨迹为_____

【错误】|PM|=d(常数),所以轨迹为抛物线。

错因:忽略“定点不在线上”

【答案】依题意得点P(-1,0)在直线x=-1上,要使|PM|=d,则动点M在过点P的直线x=-1的垂线上,故轨迹为直线。

定义求最值

【解析】选D.如图所示,设双曲线的右焦点为E,则E(4,0).

由双曲线的定义及标准方程得|PF|-|PE|=4,

则|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|

由图可得,当A、P、E三点共线时,

(|PE|+|PA|)min=|AE|=5,从而|PF|+|PA|的最小值为9,

故选D.

【解析】如图所示,设椭圆右焦点为F1,

根据椭圆的定义,则|PF|+|PF1|=6.

所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6.

利用-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立).

【总结反思】

利用圆锥曲线的定义求距离之和的最值

——本质:数形结合(临界状态)

工具:

①圆周上点的问题→圆心的问题

②化折为直(两点间线段最短)

③三角形三边关系

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