八上第二讲 全等辅助线（1）截长补短

写在前面

全等证明是苏科版几何的一次真正入门，许多需要作辅助线的难题逐渐出现，因此，计划用三讲来完成三个大类，本讲首先来介绍截长补短法．主要涉及两个经典模型．

截长补短法分为截长法和补短法，主要用于证明线段和差问题，如求一条较长线段的长度等于两条较短线段的长度之和．

截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．

补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．

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一．双角平分线模型

分析：

本题是典型的线段和差问题，有角平分线，则对应角已经相等，且角平分线可以作为公共边，自然想到截长法．

分析：

本题还可以用补短法，且辅助线作法不唯一，如延长BE，CD交于点G．但在此选择更符合实际情况的“补短”法．

特别提醒：

在用补短法证明∠4＝∠G时，有学生会借助AB∥CD，得内错角相等，但在这是行不通的，因为此时还未证明B、E、G三点共线．需要通过∠1＋∠3＝90°，由∠CEG＝∠CEB＝90°得到．

分析：

本题依然是一个线段和差问题，我们可以尝试截长法，补短法，在此分别展示．

小结：

以上两题，我们都用截长补短法进行了证明．但是在补短法时，第二次旋转型的全等或不太直观，或在证明相等元素时容易出错．

因此，当题目出现双角平分线模型时，一般多用截长法，两次构造翻折型全等．

二．半角模型

认识模型：

首先，让我们对半角模型有一个初步的认识．

半角模型是指符合

有公共顶点，

锐角等于较大角的一半，

且组成较大角的两边相等，

等基本条件的模型．

常通过旋转或翻折，将角的倍数关系转化为角的相等关系，构造全等(相似)三角形来解决．

分析：

本题是最经典的半角模型．若连接BD，其引申的结论由许多，今后会作进一步研究．这里选取的是其中的第一个结论，还是线段和差问题．

我们先尝试截长法，如在EF上截取EG＝EB，连接AG，但此时缺乏角平分线，无法证明角等的条件，无法完成．只能选择补短法，但能说延长EB，使EG与EF相等吗？还是不能！因为还是缺乏角平分线．只能使BG＝DF．

我们再来看一个例1的变式，还是半角模型，依旧可以使用补短法来解决．

小结：

以上两题均为半角模型．我们采用了补短法，当然从更高的观点上，由于这里有“等线段，共端点”，今后也可以利用旋转构造“手拉手模型”来完成．

目前来看，当题目中出现半角模型，一般多用补短法，先构造旋转型全等，再构造翻折型全等．

END

如

何

关

注