第22讲 七下期末冲刺专练卷2（从2014年江苏两道不同地区却异曲同工的中考题说起）
这次的冲刺专练卷2，我们先从两道3年前江苏两市的中考题说起．来感受下，不同城市，在同一年，出了两道不同类型中考题，却又殊途同归的解法．
例1：(2014·无锡)三个小球分别标有－2，0，1三个数，这三个球除了标的数不同外，其余均相同，将小球放入一个不透明的布袋中搅匀．从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，将小球上所标之数再记下，…，这样一共摸了13次．若记下的13个数之和等于－4，平方和等于14．求：这13次摸球中，摸到球上所标之数是0的次数．
分析：这是当年无锡中考的第24题，是在常规概率题后增加的一小问，记得当时监考时，看到许多学生卡壳了，但仔细一想，其实这是一道二元一次方程组应用题．
题目中要求标0的次数，但恰恰不应该先考虑，而应该考虑－2和1的次数，因为只有计算这两个数出现的次数，才会有数字之和与平方和．用摸到的数字乘上次数，相加，就是数字之和，用摸到的数字平方之后，乘上次数，相加，就是平方和．
变式：(2014·扬州)设a1，a2，…，a2014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a1＋a2＋…＋a2014＝69，(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2014＋1)2＝4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是_____．
分析：时隔三年后，在课课练拓展再次看到这一题时，觉得十分眼熟，网上一查，居然是2014年扬州市的中考填空压轴题！要知道各地中考命题组都会提前20天左右集中，进行封闭命题．那么在同一年的中考卷上，不同城市出现了几乎是完全相同类型的非必考题目，确实是很难得．
回到题目，我们用例1的方法就能解决．把1和－1代入第一个式子，则69就是其中所有是－1与1的数字之和，而1＋1＝2，0＋1＝1，把1和0代入第二个式子，则4001可以看作所有是1与0的数，各自加上1后的平方和．
当然我们也可以将后一个式子中的完全平方式展开来做．其中a12＋a22＋…＋a20142可以看作是其中所有是－1与1的数字的平方和，思路会更顺畅些．
解答：
例2：如图，在△ABC的角平分线CD，BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且EG⊥CG于G，下列说法：①∠CEG＝2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ACG＝∠ABC；④2∠DFB＝∠CGE．其中正确结论是（ ）
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A．只有①③ |
B．只有②④ |
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C．只有①③④ |
D．①②③④ |
例4：我市某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电视机108台，其
中甲种电视机的台数是丙种的4倍，购进三种电视机的总金额不超过147000元，已知甲、乙、丙三种型号的电视机的出厂价格分别为1 000元/台，1500元/台，2000元/台.
(1)求该商场至少购买丙种电视机多少台？
(2)若要求甲种电视机的台数不超过乙种电视的台数，问有哪些购买方案，其中哪种方案所需总金额最少？
分析：本题中，根据“不超过”的字眼，确定是不等式，再根据电视机的台数之间有倍数关系，则应该是一元一次不等式．对于总金额最少的方案问题，我们还是应该设总金额为W，要列出关于x的代数式，根据x前的系数，确定W到底随x的增大还是减少．
解答：(1)设购买丙种电视机x台，则购买甲种电视机4x台，购买乙种电视机(108﹣5x)台，
由题意得1000×4x＋1500×(108－5x)＋2000x≤147 000
解得x≥10
答：至少购买丙种电视机10台；
(2)甲种电视机4x台，购买乙种电视机（108－5x）台，根据题意，
得4x≤108－5x
解得x≤12
又∵x是整数，由(1)得
10≤x≤12
∴x＝10，11，12，因此有三种方案.
方案一：购进甲，乙，丙三种电视机分别为40台，58台，10台；
方案二：购进甲，乙，丙三种电视机分别为44台，53台，11台；
方案三：购进甲，乙，丙三种电视机分别为48台，48台，12台.
设总金额为W元，
W＝1000×4x＋1500×(108－5x)＋2000x
＝－150x＋162000
∵－150＜0
∴W随x增大而减小
当x＝12
Wmin＝144000
例5：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，则∠E ＝_____°；
（2）当P点在线段AD上运动时，设∠B＝α，∠ACB＝β（β＞α），则∠E＝_____°
（用α，β的代数式表示）
分析：第一小问不难，只要用外角定理求出∠ADE的度数，再用90°相减即可．
第二问只是将数字变成字母，按照上一小题的解题顺序，也能得到相应的结论．
解答：
（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝30°，
∴在△ABD中，
∠ADC＝∠B＋∠BAD＝65°，
∴∠E＝90°－∠ADC＝25°．