计数原理错因深度剖析

解决计数问题的灵活性意味着切入的角度多，也意味着错误的类型多，对错误的剖析有助于形成正确的认识。

一、分类分步混淆

例1.某队有男运动员6 名，女运动员4 名，现要选派5 人外出比赛，要求至少有2 名女队员，有________________种选派方法？

【错因的现象解释】：给女队员编号：女1、女2、女3、女4，第一步可能选到女1、女2，第二步可能选到女3、女4，而相反我们第一步可能选到女3、女4，第二步可能选到女1、女2，这本来是一种情况，而我们把它视为不同的情况，导致了重复.

【错因的根源探究】：这个题目，无论是出发点还是其效果，第一步是要保障“至少有2 名女生”，而如果第二步也选到2 名女生，其实也能保障至少有2 名女生，那第一步与第二步有交叉，不独立.

【结合正解、错解进一步思考分步的关键，分步和分类的合理顺序】：完成这件事情既要选女队员，也要选男队员，如果把事情分为两步，第一步选女队员，第二步再选男队员，而选到女队员的多少会对“选男队员”产生影响，由此很自然地就应该分类.

分步要求“步骤完整”、“步与步之间要相互独立”，有的资料书把“步与步之间要相互独立”理解为“步与步之间互不干扰”，毫无疑问完成这件事的步骤是连续的，第一步肯定会对第二步产生影响，可以把“步与步之间的独立性”可以更加清晰地表述为“在完成的事情上，没有交叉”.这也启发学生对分类的时机的考虑，即在分步过程中遇到了不一样的情况，会对下一个步骤产生影响的时候，就需要进行分类.

其实“至少有两名女生”也告诉了学生可以分为几种情况，当然可以先分类再分步，也可以从反面考虑.

二、分步的对象不清楚导致步骤不完整

在具体问题中，往往会涉及多个元素，那把哪一个列为分步的对象，学生也容易产生混淆.

例2.  将4 封不同的信投到3 个信箱，有多少种投法？

例3.  4 个人均参加3 个项目的比赛，每项冠军只有一人，那冠军的可能情况有多少种？

三、分步与顺序关系的理解混乱

四、分类的标准不清楚

在面临限制条件较多，涉及的元素很多的时候，不知道从哪个地方切入来进行分类，思维比较混乱，我们通过一个应用来说明一下.

例4：现安排甲、乙、丙、丁、戌5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案有多少种？

这里面有特殊的人——甲、乙，有特殊的工作——司机，到底以什么作为切入点，会更加简单一点呢？因为特殊的工作就一个，可以尝试从司机切入，因为5 个人分配到4 个工作岗位上，一定有一个工作上是两个人，那有可能司机这个工作是一个人做，也有可能是两个人做，由此进行分类.一般来说，从特殊的元素或特殊的位置来切入，选择一个作为分类的对象，根据需要选择分类的标准，把特殊的考虑完之后，再来考虑一般情况.

五、忽略元素相同与不同

为了方便，习惯上把“从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列（组合）”简称“排列（组合）”，而学生初学的时候，考虑排列组合，容易忽略元素的异同，从而导致计算上的失误.

例 5. 异面直线a,b上分别有 5个或 8 个点，可以确定平面的个数为________

错因分析：对于直线a 上，所有点都在同一直线上，就确定平面而言，任意两个点都是一样的。可以看成由直线和一个点确定平面，直线a 和直线b 上任意一点，8 种；直线b和直线a 上任意一点，5 种，共13 种。

在我们简称“排列（组合）”的时候，要注意元素的是否相同，一定要引导学生注意对于问题来说，元素是否相同.

六、笼统处理顺序，不够细化

在有些问题中，我们知道自己重复了，但重复了多少次，不同的处理方式可能重复的次数也不一样，但很多学生是笼统的处理，比如：

例6. 现有10 个保送大学的名额，分配给7 所学校，每校至少有一个名额，名额的分配方案有多少种？

这三个名额分配下去，分给三个班，两个班重复的情况是不一样的，分给一个班根本就不重复.

为了避免出现这样的混乱，可以先分组再分配，或者用“隔板法”.

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