谈谈三角代换

三角代换是解题时常用的方法，这里略举几例，以飨读者。

一、利用三角函数的值域进行代换

在彭翕成老师的《从初等数学到高等数学 第 1 卷》 （中国科学技术大学出版社，2017）中，有这样一道例题：设 、、 为互不相等的实数，证明

不为 。书中的证法2即利用三角代换证明，方法是设 , , ，其中 、、 且互不相等。这之后利用三角关系式证明。

二、利用直角三角形的三角关系

比如计算 的值域。很显然，如果令 ，则原式。这里要注意 的取值范围：，这样虽然 可正可负，但 却始终是正的，可以去掉绝对值符号。

本文的目的，并不是介绍多少三角代换的方法和技巧，那是数学老师的事情。比起前面介绍的具体例题，本文更重要的是要讲讲三角代换何以会得到广泛应用：

首先，我们有丰富的三角函数关系式，包括同角三角函数的各种转化、三角函数的和差倍分等等，这样可以在进行三角代换后进行各种变换。以前述第一题为例，三角代换之后可以利用正切函数的和差角公式进一步变形，这赋予了我们广大的能力。

其次，三角函数的值域十分多样，既有有界函数，也有无界函数，如果配合适当的缩放比例和上下平移就可以适合各种情况。以前述第二题为例，如果 换成 ，则应该令 。

还要说明一点：三角代换的方法往往不是唯一的。仍以第二题为例，显然亦可作代换 求解，而 的取值范围要相应变动。在更复杂一些问题中，很可能中间过程也会有所不同，但无论如何，最后的结果都应该是相同的。不过这里说的相同，当然是“实质”意义上的相同，而非表面上的：很可能两人因为用了不同的代换而得到的最终表达式形式上有所区别，但只要用三角恒等式作简单变形，就可以看出其实是一回事，这是不应该引起我们惊异的。

我以前说过，做题要善于反思，以上两段文字可以算是我自己反思的结果，希望大家也都养成良好的反思习惯，这样就不至于陷入题海了。