为什么会有三个宇宙速度?慢慢飞难道飞不出地球吗? | 袁岚峰

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导读

飞出地球为什么一定要超过某个速度呢?如果你保持一个比较低的速度慢慢飞,比如说1公里/秒,难道你飞不出地球吗?

大家在上高中的时候,都学到过三个宇宙速度:第一宇宙速度等于7.9公里/秒,第二宇宙速度等于11.2公里/秒,第三宇宙速度等于16.7公里/秒。
三个宇宙速度

最近中国发射火星探测器“天问一号” (天问:火星与人类的未来 | 袁岚峰),又让很多人重温了这些概念。
 天问一号艺术示意图。这次任务将综合使用轨道器和着陆器/巡视器来研究这颗红色星球
中国首次火星探测任务即将展开,先来听听首席科学家的“剧透”

不过我惊讶地发现,许多人对这些概念感到很困惑。典型的问题是:飞出地球为什么一定要超过某个速度呢?如果你保持一个比较低的速度慢慢飞,比如说1公里/秒,难道你飞不出地球吗?难道你会一开始正常上升,然后在某个高度突然被拽下来?
这种场景当然是荒谬的。如果你能一直保持某个大于零的速度,那么你当然可以飞出地球,飞得任意远。速度等于位移除以时间,所以如果速度为常量,那么时间趋于无穷的时候位移也趋于无穷,这本来就是速度的定义嘛。
但是真正的问题在于,你如何保持速度?地球一直在对你施加引力,所以如果你想保持一个恒定的速度,你就一定要有一个相反的力来跟引力抵消。这就需要消耗能量,对火箭来说就是要消耗燃料。
现在要点来了:在航天当中,燃料是极其宝贵的东西,比在地面上开汽车的燃料宝贵得多。在地面上开车,没油了你大不了停下来,找个地方加油再继续开。但在太空中你没法补充燃料,如果在燃料耗尽之前你达不到目标,就会被地球或者其他星球拽回来,前功尽弃。
你可能会问:何不多带些燃料呢?
得,这又是航天跟地面行驶的一个本质区别。汽车前进的动力是轮胎反推地面的摩擦力,但在太空中你无处借力,只能通过向后喷射物质来让火箭箭身前进。
这就导致一个问题:你要达到的速度越高,需要带的燃料就越多,但这些增加的燃料本身又需要更多的燃料来推动,导致一个恶性循环。结果是,单位质量燃料的效果大大下降。
对此定量的描述,叫做齐奥尔科夫斯基公式:
齐奥尔科夫斯基公式

这个公式的意思是,火箭能够达到的最大速度vm,等于向后喷射物质的速度vr乘以质量比的自然对数。这个质量比,指的是火箭装满燃料时的最大质量mmax与耗尽燃料时的最小质量mmin之间的比值。公式之所以有个负号,是因为向后喷射的速度与火箭前进的速度是反向的,别忘了速度是个矢量。实际用的时候,把所有的数值都当作绝对值代进去就行。
举个例子,假如一种火箭的喷射速度是4公里/秒,质量比是e,也就是自然对数的底,约等于2.718,那么它能达到的最高速度就是4公里/秒。而如果喷射速度不变,把质量比提高到e的平方即7.39,那么最高速度就是8公里/秒。
这个公式是航天科学之父、俄罗斯科学家齐奥尔科夫斯基(Konstantin Eduardovich Tsiolkovski,1857 - 1935)在1903年提出的,所以叫做齐奥尔科夫斯基公式。它是现代所有的导弹、卫星、太空探索等航天科技的基础。如果你想了解这个公式的推导,可以参见我以前的文章(我们应该如何纪念登月(二)航天的基本原理| 袁岚峰)。
齐奥尔科夫斯基

这个公式带来一个好消息和一个坏消息。好消息是:航天是可能的。坏消息是:增加燃料带来的边际收益是越来越低的,因为对数函数的增长很缓慢。即使你把整个地球的燃料都烧掉,速度也提升不了太多。
自然对数函数

因此,航天不能指望通过多带燃料来解决问题。在航天任务中,燃料总是处于紧巴巴的状态,总是刚好满足需要或者稍微留一点备用。
知道了这些背景,我们就能理解,航天考虑的基本问题是:当你的燃料耗尽时,你要处于什么样的状态,才能达到目标?由此才能决定,出发时要带多少燃料。
因此,三个宇宙速度的意思,都是在无燃料的情况下,达到这些速度你才能实现某些目标。第一宇宙速度的目标是环绕地球,不落到地面。第二宇宙速度的目标是飞出地球,达到跟地球任意远的距离。第三宇宙速度的目标是飞出太阳系。
还有一点值得解释的是,经常有人问:气球和飞机不是可以一直不落到地面吗?它们的速度都低于第一宇宙速度啊?
热气球

这是因为,气球和飞机都属于航空,而不是航天。当谈论宇宙速度时,我们关心的是航天。
在大气层中,你会受到空气的浮力和阻力,以及通过机翼和旋翼等空气动力学的方法可以得到升力。但这些都属于航空的范畴,离开空气就没咒念了。气球确实可以环绕地球不掉落,但它能到大气层外面去吗?
航天关心的是,你在真空中会怎么样。所以计算宇宙速度时,我们是把这些与空气有关的力全都忽略掉的,只考虑万有引力。
以上我们解释了三个宇宙速度“不是什么”,希望这解决了大多数人的困扰。下面,我们来定量地推导它们“是什么”。推导的方法有多种,这里对每一个宇宙速度都给出最简单的一种。
让我们把第一、第二、第三宇宙速度分别写成v1、v2、v3。需要事先说明的是,这三个宇宙速度都是以地球为参照系的。前两个也许你还不会注意到,到推导第三宇宙速度时这个参照系就很重要了。
第一宇宙速度又叫做环绕速度。它问的是:在地球表面附近,一个物体要达到怎样的速度,才能绕地球做圆周运动,而不落地?
回答是:此时物体受到的地球引力,刚好等于圆周运动的向心力。前者等于GMEm/R2,后者等于mv12/R,所以
其中G是万有引力常数,约等于6.67 × 10-11 N·m2/kg2;ME是地球质量,约等于5.96 × 1024 kg;R是地球半径,约等于6.37 × 108 m。顺便说一句,万有引力常数目前最精确的测量值,是由中国科学院院士罗俊的团队在2018年得到的。
中山大学网站对罗俊院士的介绍
http://www.sysu.edu.cn/cn/zdgk/zdgk03/19924.htm

把上面的等式化简,就等到
把数值代进去,就得到v1 = 7.9公里/秒。
第二宇宙速度又叫做逃逸速度。它问的是:在地球表面附近,一个物体要达到怎样的速度,才能飞到离地球无限远处?
对此的回答是:从能量转换的角度看来,飞离一个星球是动能转化为势能的过程。如果初始动能不够,就会在某个距离处速度降为零。如果初始动能足够,就可以在距离无穷远时仍然保持大于零的速度。
两种情况的临界状态,就是刚好在飞到无穷远处时,动能和势能都为零,这时总的机械能为零。由于机械能守恒,所以在地面附近时动能加势能也等于零,也就是说动能等于势能的负值。前者等于mv22/2,后者等于GMEm/R,所以
化简以后,就得到
可以注意到,第二宇宙速度刚好是第一宇宙速度的根号2倍。把数值代进去,就得到v2 = 11.2公里/秒。
你也许想问,为什么是根号2倍?回答是:这个2来自万有引力对距离的依赖关系即1/R2中的那个指数,2。不过这需要比较高深的理论知识,在这里就不介绍了。
值得注意的是,第一宇宙速度和第二宇宙速度的方向性是不同的。第一宇宙速度的方向必然是圆周运动的切线方向,而第二宇宙速度并没有特定的方向,因为在它的推导中重要的是速度的平方,与速度的方向无关。如果你具有第二宇宙速度,只要你不是特意一头向地球撞去,那么你必然会飞得离地球无限远。
前两个宇宙速度的推导都很简单,第三宇宙速度就稍微复杂一点,超出了高中知识的范围。它问的是:在地球表面,一个物体要达到怎样的速度,才能飞到离太阳无限远处?
第三宇宙速度之所以复杂,是因为前面的引力源只有一个地球,而这里涉及太阳和地球两个引力源。所以,一种简单而清晰的推导方式,是先假设地球不存在,看需要多大的速度飞出太阳系。
对此的回答,其实我们刚才已经给出来了,就是第二宇宙速度。只不过这时要把引力源从地球换成太阳,距离从地球的半径换成太阳到地球的距离。太阳的质量MS约等于1.99 × 1030 kg,日地距离RSE约等于1.5 × 1011 m。
把这些数值代入第二宇宙速度的公式,就得到42.1公里/秒,让我们把它记作v2S。这个速度的意思是,如果地球不存在,而在地球的位置有一个速度相对太阳达到42.1公里/秒的物体,那么它可以飞出太阳系。
下面我们来问,地球的存在会带来什么修正?
首先,地球是在围绕太阳公转的,公转的速度约等于29.8公里/秒。实际上,这个公转速度就是地球环绕太阳的第一宇宙速度,我们可以把它记作v1S。所以,v2S必然等于根号2倍的v1S
地球的公转可以给我们提供一个便利:如果火箭发射的方向跟地球的公转速度方向一致,那么在太阳的参照系中,火箭一上来就从地球借到了29.8公里/秒的速度。这是一个巨大的收益。所以,火箭真正需要依靠自己的燃料达到的相对于地球的速度,是
v2S - v1S = 12.3公里/秒。
我们可以把这个速度记为Δv。
实际上,对于第一宇宙速度和第二宇宙速度,同样可以从地球的自转中借到速度。不过地球最大的自转速度只是0.465公里/秒而已,出现在赤道上,远小于第一和第二宇宙速度,所以借力的效果不是很大。
即使如此,我们还是尽可能地希望在靠近赤道的地方发射火箭,借一点算一点。中国的文昌发射基地,比以前的太原、酒泉、西昌发射基地都更加靠近赤道,这就是一个进步。所以长征五号这样的重型火箭,都在文昌发射。
图解中国的航天发射中心

回头来考虑第三宇宙速度。刚才得到的Δv = 12.3公里/秒就是第三宇宙速度吗?不是。因为它说的是,假如地球没有引力,仅仅提供一个公转的速度,那么你只需要相对地球达到12.3公里/秒就能飞出太阳系。
但实际上,地球是有引力的。为了克服地球的引力,火箭还需要付出巨大的能量。多大的能量呢?其实就是前面推导的第二宇宙速度v2对应的动能。
由此可见,火箭要飞出太阳系,需要的能量等于两部分之和:一部分是Δv = 12.3公里/秒对应的动能,另一部分是v2 = 11.2公里/秒对应的动能。动能正比于速度的平方,所以第三宇宙速度是
把数值代进去,就得到v3 = 16.7公里/秒。
现在我们明白,第三宇宙速度的推导为什么不是高中内容了。确实绕了不少弯子,不过只要你的头脑清晰,全都是可以理解的。
让我们总结一下,如果你的初始速度处于某个区间,结果会是什么?
三个宇宙速度

如果不到第一宇宙速度,那么你会落回地面。
如果达到第一宇宙速度,那么你会环绕地球做圆周运动。
如果超过第一宇宙速度,但低于第二宇宙速度,那么你会以椭圆轨道绕地球运动,速度越大椭圆越扁,远地点越远。
如果达到第二宇宙速度,但低于第三宇宙速度,那么你会摆脱地球引力,却被太阳捕获,绕太阳做椭圆运动。中国探测火星的天问一号,目前就处于这种状态。
从地球到火星的霍曼转移轨道
天问:火星与人类的未来 | 袁岚峰

如果达到第三宇宙速度,那么你最终会飞出太阳系。
有趣的是,还有人提出了所谓“第四宇宙速度”,即飞出银河系所需的速度。它大约在110至120公里/秒之间。不过这个速度已经超出了人类现在能够达到的水平,飞出银河系更是远远超出我们现有的能力,所以这个概念还没有实用价值。
2020年4月,中美科学家绘出迄今最精确银河系结构图(https://tech.sina.com.cn/d/s/2020-05-29/doc-iirczymk4131458.shtml

还有人提出第五、第六以至第七宇宙速度,表示飞出“本星系群”、飞出“本超星系团”以及飞出已知宇宙所需的速度。这些速度就更大,更加远远超出人类的能力,所以更是只有玄想的意义了。
最后,我们可以回到问题的出发点,重新想一想。火箭的燃料一定是有限的吗?我们能不能一边飞行,一边收集星际物质作为燃料呢?如果这条路走通,就不受无论第几宇宙速度的限制了。我们就回到了最初的图景:如果你能持续地保持某个速度,那么你可以走到任意远。
这样的设想真的是存在的。例如星际冲压发动机,它是美国物理学家巴萨德(Robert W. Bussard)在1960年提出的。它的基本思想是,在前方收集星际物质中的氢原子,在火箭内部发生核聚变,然后从后端高速喷出去。
星际冲压发动机

虽然星际物质很稀薄,但如果你收集得够快,喷射得够快,在理论上就是有可能实现的。这种发动机当然离我们现在的能力还很遥远,因为我们连基础的可控核聚变这个科技还没点开呢,不过它至少给我们提供了一种思路。它使得星际航行不再是耗尽燃料的一锤子买卖了,变成了细水长流。
回顾我们的整个讨论,经历了一场“否定之否定”。许多人困惑是因为他们处于第一层,分不清航空与航天,理解不了宇宙速度面对的是什么问题。当你明白了这一点,你就进入了第二层,可以定量地推导出三个宇宙速度。
然后,你可以再次超越已有的思维,回头去设计在太空中补充燃料的方法。看似回到了第一层,其实至少是第五层,这是真正的高手。科学就是在这种否定之否定中前进的,关键在于你要理解清楚面对的问题,然后才可能找到超越之道。
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