《測圓海鏡》﹝諸差7﹞之明雙差、 雙差等式說

《測圓海鏡》﹝諸差7﹞之明雙差、

雙差等式說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，其書之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。本文著重明雙差、

雙差之相關等式及其証明。

關鍵詞：明雙差、

雙差、明差、虛黃、極雙差

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即  a_i² + b_i² = c_i²。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。圓徑乃十五勾股形三邊重要因子之一，其他因子為最大勾股形之勾股較、勾弦較及股弘較。

本文主要談及十五勾股形有關三邊相差之等式，其中部分等式曾在“五和五較”等式中出現，可參閱筆者相關之文章。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)²﹝雙差積圓徑平方半等式﹞。

本文取自《測圓海鏡‧卷一‧諸差》。筆者有以下之文涉及〈諸差〉：

《測圓海鏡》之大差差、小差差等式﹝諸差1﹞

《測圓海鏡》之髙差、旁差、極雙差等式﹝諸差2﹞

《測圓海鏡》之極差等式﹝諸差3﹞

《測圓海鏡》之角差及虛差等式說﹝諸差 4﹞

《測圓海鏡》﹝諸差5﹞之髙差、黃廣及黃長等式

《測圓海鏡》﹝諸差6﹞之邊弦、底弦等式說

本文乃以上六文之延續。

以下為有關“明雙差”及“

雙差”相關之等式：

明雙差亦為明

二大差。其較則明差也。

雙差亦為明

二小差。其較則

差也。明雙差內減明差即虛黃。

雙差上加

差亦同上。以明雙差加明和即兩明弦。以

雙差加

和則兩

弦也。以明雙差減明和而半之即明黃又為虛大差。以

雙差減於

和而半之即

黃，又為虛小差也。以虛大差減明和即為明弦。以虛小差減

和即

弦也。明雙差

雙差相較則次差也。明雙差

雙差相併，加於明

二和共則為兩個極雙差。若以減於明

二和共則為兩個虛雙差也。明雙差上加虛雙差即明

二股共。

雙差上加虛雙即明

二勾共也。

以下為各條目之証明：

明雙差亦為明

二大差。

“明雙差”指明弦勾弦較與明弦股弦較之和。明弦在勾股形日月南 14。

明弦勾弦較 = c₁₄ – a₁₄ =

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)²。

明弦股弦較 = c₁₄ – b₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁) 。

所以明雙差，即：

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)² +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁) (2c₁ – a₁ – b₁) #。

明大差即明弦勾弦較 =

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)²。

大差即

弦上勾弦較 = c₁₅ – a₁₅。

c₁₅ – a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)

= 明弦股弦較。

明大差+

大差

=

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)² +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁) (2c₁ – a₁ – b₁) #。

所以明弦勾弦較+ 明弦股弦較 = 明大差 +

大差。

其較則明差也。

“其較”指明弦勾弦較與明弦股弦較之差，即：

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)² –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)[(c₁ – a₁) – (c₁ – b₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)(b₁ – a₁) #。

“明差”指明弦勾股較。

明弦勾股較=b₁₄ – a₁₄=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

–

]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – a₁) #。

比較兩式可知相同，所以明雙差與明

二大差之差 = 明差。

雙差亦為明

二小差。

“

雙差”指

弦上勾弦較加

弦上股弦較。

弦上勾弦較 = c₁₅ – a₁₅

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[

– 1]

=

(c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)[c₁ – a₁]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) 。

弦上股弦較 = c₁₅ – b₁₅ 。

c₁₅ – b₁₅=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[

– 1]

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁) 。

弦上雙差

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) +

(c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=

(c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

明小差即明弦股弦較 = c₁₄ – b₁₄ 。

c₁₄ – b₁₄=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

– 1]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁) 。

“

小差”指

弦上股弦較 = c₁₅ – b₁₅ 。

c₁₅ – b₁₅=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[

– 1]

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁) 。

明小差 +

小差，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁) +

(c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

比較兩式可知相同，所以

雙差 = 明

二小差。

其較則

差也。

“其較”指

雙差之較 =

勾弦較 –

股弦較

= (c₁₅ – a₁₅) – (c₁₅ – b₁₅)

= c₁₅ – a₁₅ – c₁₅ + b₁₅

= b₁₅ – a₁₅。

以上即

差，即

弦上勾股較。

弦上勾股較 = b₁₅ – a₁₅

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(

–

)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁) #。

明雙差內減明差即虛黃。

明雙差= 明弦股弦較 + 明弦勾弦較 = (c₁₄ – b₁₄) + (c₁₄ – a₁₄)；

明差= b₁₄ – a₁₄；

明雙差內減明差即(c₁₄ – b₁₄) + (c₁₄ – a₁₄)– (b₁₄ – a₁₄)

= c₁₄ – b₁₄ + c₁₄– a₁₄ – b₁₄ + a₁₄

= 2(c₁₄ – b₁₄)

= 2 ×

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁) ﹝見前條﹞

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁) 。

“虛黃”即太虛弦三事較 = 弦和較 = b₁₃ + a₁₃ – c₁₃。

–       c₁₃ + b₁₃ + a₁₃

= –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(– c₁ + b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²(– c₁ + b₁ + a₁) ﹝雙差積圓徑平方半等式﹞。

所以明雙差內減明差 = 虛黃。

雙差上加

差亦同上。

雙差上加

差 =

勾弦較 +

股弦較 +

勾股較

= (c₁₅ – a₁₅) + (c₁₅ – b₁₅) + (b₁₅ – a₁₅)

= c₁₅ – a₁₅ +c₁₅ – b₁₅ + b₁₅ – a₁₅

= 2(c₁₅ – a₁₅)

= 2 ×

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)﹝見前條﹞

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)。

此式同上。

以明雙差加明和即兩明弦。

已知明弦﹝在勾股形日月南 14﹞勾弦較=c₁₄ – a₁₄。

c₁₄ – a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

– 1]

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)²。

明弦股弦較 = c₁₄ – b₁₄

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

– 1]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁) 。

所以明雙差

=

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)² +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

已知“明和”即明弦勾股和。

明弦勾股和=b₁₄ + a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

+

]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

明雙差加明和

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) +

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)[(a₁ + b₁) + (2c₁ – a₁ – b₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁) × 2c₁

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

已知明弦 = c₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

兩明弦 =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

所以以明雙差加明和 = 兩明弦。

另法：

明雙差+ 明和 = 明弦勾弦較 + 明弦股弦較 + 明弦勾股和

= (c₁₄ – a₁₄) + (c₁₄ –b₁₄) + (a₁₄ + b₁₄)

= c₁₄ – a₁₄ +c₁₄ – b₁₄+ a₁₄ + b₁₄

= 2c₁₄。

以上即為兩明弦。

以

雙差加

和則兩

弦也。

雙差 +

和 =

弦勾弦較 +

弦股弦較 +

弦勾股和

= (c₁₅ – a₁₅) + (c₁₅ – b₁₅) + (a₁₅ + b₁₅)

= c₁₅ – a₁₅ +c₁₅ – b₁₅+ a₁₅ + b₁₅

= 2c₁₅。

以上即為兩

弦。其實以上之形式任何勾股形皆適用。

以明雙差減明和而半之即明黃，又為虛大差。

以明雙差減明和而半之

=

(明和 – 明雙差) =

[明和 – (明弦勾弦較+ 明弦股弦較)]

=

{(a₁₄+ b₁₄)– [(c₁₄ – a₁₄) + (c₁₄ – b₁₄)]}

=

[a₁₄ + b₁₄ – (c₁₄ – a₁₄) – (c₁₄ – b₁₄)]

=

(a₁₄ + b₁₄ – c₁₄ + a₁₄– c₁₄ + b₁₄)

= a₁₄ + b₁₄– c₁₄。

以上即為明黃，或稱之為明黃方，又名明弦三事較，又名明弦弦和較。

明弦三事較 = 弦和較 =b₁₄ + a₁₄ – c₁₄。

b₁₄ + a₁₄ – c₁₄

= –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[ –

+

+

]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)( – c₁ + b₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)²

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)² #。

“虛大差”即太虛勾弦較。

太虛勾弦較=c₁₃ – a₁₃=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

– 1]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)² #。

所以以明雙差減明和而半之 = 明黃 = 虛大差。

以

雙差減於

和而半之即

黃，又為虛小差也。

以

雙差減

和而半之，即：

(

和 –

雙差) =

[

和 – (

弦勾弦較 +

弦股弦較)]

=

{(a₁₅+ b₁₅)– [(c₁₅ – a₁₅) + (c₁₅ – b₁₅)]}

=

[a₁₅ + b₁₅ – (c₁₅ – a₁₅) – (c₁₅ – b₁₅)]

=

(a₁₅ + b₁₅ – c₁₅ + a₁₅– c₁₅ + b₁₅)

= a₁₅ + b₁₅– c₁₅。

以上即為

黃。

黃即

弦三事較

弦上三事較即

弦上弦和較 = (b₁₅ + a₁₅) – c₁₅ = b₁₅ + a₁₅ – c₁₅。

b₁₅ + a₁₅ – c₁₅

= –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)
 +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[ –

+

+

]

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)( – c₁ + b₁ + a₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)²

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – b₁) ﹝雙差積圓徑平方半等式﹞

=

(c₁ – b₁)²(c₁ – a₁) #。

虛小差即太虛股弦較

太虛股弦較= c₁₃ – b₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

– 1]

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – b₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)² #。

比較兩式，可知

弦上三事較 = 太虛上股弦較。

以虛大差減明和即為明弦。

已知虛大差即太虛勾弦較，明和即明弦勾股和。

明弦勾股和=b₁₄ + a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

+

]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

太虛勾弦較=c₁₃ – a₁₃=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

– 1]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)²(c₁ – a₁)。

虛大差減明和，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) –

(b₁ – c₁ + a₁)²(c₁ – a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[(a₁ + b₁) – (b₁ – c₁ + a₁)]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁ – b₁ + c₁ – a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) × c₁

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) #。

日月為明弦﹝簡稱明弦﹞：c₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) #。

所以以虛大差減明和 = 明弦。

以虛小差減

和即

弦也。

“虛小差”指太虛股弦較。

太虛股弦較= c₁₃ – b₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

– 1]

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – b₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)²

=

(a₁ – c₁ + b₁)²(c₁ – b₁) ﹝雙差積圓徑平方半等式﹞。

“

和”指

弦上勾股和 = b₁₅ +a₁₅ 。

b₁₅ + a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(

+

)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) 。

以虛小差減

和，即：

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) –

(a₁ – c₁ + b₁)²(c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[(b₁ + a₁) – (a₁ – c₁ + b₁)]

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁ – a₁ + c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) × c₁

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) #。

已知山川

弦﹝簡稱

弦﹞：c₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) #。

所以以虛小差減

和 =

弦也。

明雙差

雙差相較則次差也。

已知明雙差 =

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

弦上勾弦較 = c₁₅ – a₁₅

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[

– 1]

=

(c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)[c₁ – a₁]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) 。

弦上股弦較 = c₁₅ – b₁₅ 。

c₁₅ – b₁₅=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[

– 1]

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁) 。

弦上雙差，即：

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) +

(c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=

(c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

明雙差

雙差較，即：

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁) (2c₁ – a₁ – b₁) –

(c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

=

(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[(c₁ – a₁) – (c₁ – b₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[c₁ – a₁ – c₁ + b₁]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)(b₁ – a₁) #。

明

二差共名次差。

明差指明勾與明股之差，明勾與明股之式見前。

明差 = b₁₄ – a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[

–

]。

差指

勾與

股之差，

勾與

股之式亦見前。

差 = b₁₅ – a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [

–

]。

二差共 = 明差 +

差

=

(c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[

–

] +

(c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [

–

]

=

( a₁ +b₁ – c₁)[

–

](c₁ – a₁ + c₁ – b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

上式是為次差。故明雙差

雙差相較= 次差。

明雙差

雙差又相併，加於明

二和共，則為兩個極雙差。

明雙差

雙差共

=

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁) (2c₁ – a₁ – b₁) +

(c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

=

(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[c₁ – a₁ – b₁ + c₁]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)²。

已知明弦勾股和是為明和 = b₁₄ + a₁₄ 。

b₁₄ + a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

+

]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

弦上勾股和是為

和 = b₁₅ + a₁₅ 。

b₁₅ + a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(

+

)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) 。

明

二和共，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁)[ (c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁)(2c₁ – a₁ – b₁) 。

明雙差

雙差相並，加於明

二和共，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)²+

(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)(2c₁ – a₁ – b₁ + a₁ + b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) × 2c₁

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

以下為極勾弦差及股弦差：

c₁₂ – a₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)[

– 1]，

c₁₂ – b₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)[

– 1]，

極雙差 = 即以上兩式之和，即：

(a₁ + b₁ – c₁)[

– 1] +

(a₁ + b₁ – c₁)[

– 1]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – a₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – a₁ + c₁ – b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

兩個極雙差 ﹝上式乘以2﹞=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

所以明雙差 +

雙差 + 明

二和共 = 兩個極雙差。

若以減於明

二和共則為兩個虛雙差也。

明雙差

雙差相併，減於明

二和共，即：

(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁)(2c₁ – a₁ – b₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)²

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)( a₁ + b₁ – 2c₁ + a₁ + b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁) × 2

=

(a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁) #。

“虛雙差”即太虛勾弦較與太虛股弦較之和﹝在勾股形月山泛 13﹞。

已知太虛勾弦較 = c₁₃ – a₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

– 1]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)²。

太虛股弦較= c₁₃ – b₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

– 1]

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – b₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)²。

所以虛雙差 =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)² +

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)²

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁)。

兩個虛雙差=

(a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁) #。

所以明雙差

雙差相併減於明

二和共 =兩個虛雙差。

明雙差上加虛雙差即明

二股共。　

已知明雙差 =

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)(2c₁ – a₁ – b₁)；

虛雙差 =

(a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁)。

明雙差上加虛雙差=

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁) (2c₁ – a₁ – b₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[(c₁ – a₁) + (a₁ + b₁ – c₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) × b₁

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

已知日南股﹝又稱明股﹞：b₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

山東股﹝又稱

股﹞：b₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

明

二股共，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

所以明雙差上加虛雙差 = 明

二股共。

雙差上加虛雙差即明

二勾共也。

已知

雙差 =

(c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)；

虛雙差 =

(a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁)。

雙差上加虛雙差，即：

(c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁)

=

(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[(c₁ – b₁) + (a₁ + b₁ – c₁)]

=

(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) × a₁

=

(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

已知南月勾﹝又稱明勾﹞：a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

東川勾﹝又稱

勾﹞：a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

明

二勾共 =a₁₄ + a₁₅ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=

(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

所以

雙差上加虛雙差 = 明

二勾共。

以下為《測圓海鏡細草》原文：