线性代数的一些基本事实

线性映射和Jacobians

本节我们主要复习一些线性代数的基本知识，目标是定义 的Jacobian. 为接下来证明Area  公式和 Coarea公式做个准备工作

线性映射

定义 (i)线性映射称为正交的，如果, .

(ii)线性映射称为对称的，如果 , .

(iii)线性映射称为对角的，如果存在使得 , .

(iv)设是线性映射. 的伴随映射定义为，.

首先，我们回忆一些线性代数的显然事实

定理 (i)

(ii)

(iii) ,如果是正交的.

(iv) , 如果是对称的.

(v)如果是对称的， 则存在正交映射和对角映射,使得

(vi)如果 是正交的，则且

定理：设是线性映射

(i)如果, 则存在一个对称映射和一个正交映射使得

(ii) 如果, 则存在一个对称映射和一个正交映射使得

证明：首先，假定 . 考虑. 现在

同时

因此，是对称的，非负定的. 从而存在, 和一组的正交基使得

我们记

断言：存在的一组正交集合, 使得

如果, 定义

则， 当时

因此， 集合是正交的.如果, 定义是使得正交的任意单位向量.

现在，定义

以及

因此，, 因此

显然是对称的，是正交的是因为

(ii)的证明，只需要对应用(i)即可.

定义：设是线性的，

(i)如果, 记, 定义的Jacobian为

(ii)如果, 记 , 定义的Jacobian为

注：(i)由下面的定理知，的定义与和的选择无关.

(ii)显然，

定理：(i)如果 ,

(ii)如果,

证明：假定, 记

则

因此

(ii)的证明类似.

上面的定理给我们提供了一种非常有用的方式来计算

定义：(i)如果, 我们定义

(ii)对每一个, 我们定义

注：对每一个, 存在一个维子空间

使得 是 到的投影.

定理（Binet-Cauchy公式) 假设, 是线性的，那么

注：(i)因此， 如果我们要计算, 我们只需要计算矩阵的所有 子阵的行列式的平方和即可.

(ii)这实际上是一种高维版本的Pythagorean定理.

证明：在和的标准正交基下，我们可以把线性映射等同于它们所对应的矩阵.  我们记

因此

那么，

其中表示 所有置换的集合. 因此

这里，代表从 到 的一一映射的全体.

对每一个, , 其中且, 因此

Jacobians

设是Lipschitz的，由Rademacher定理，是几乎处处可微的. 因此是几乎处处存在的，从而也几乎处处是一个从的线性映射.

定义：如果 ， ， 则梯度矩阵为

则的Jacobi定义为