几个有趣的数学问题

我第一次意识到，我对于傅里叶分解的理解还是不够的。

从声音的本质说起，声音的三要素，响度，频率和音色。响度很容易理解，就是振动的幅度，频率就是振动的快慢，音色则和器物本身有关，比如小提琴和钢琴，演奏同一段曲子，人耳很容易区分小提琴和钢琴，这就是根据音色的不同。而这个音色，可以看成不同频率的正弦函数的线性组合。这就是傅里叶级数。如果我们能够对此特征建模，就可以将同一段声音信息，用年轻人，老人，男人，或者女人的嘴说出来。

再说小波分析，因为傅里叶分解缺少局部性，它的积分域是负无穷到正无穷，现实中，你不可能将一个信号测个一年什么，所以出现了小波分析，进行平移，伸缩，构成基底，然后用这个基底来表示我们想要表示的函数。

还有就是距离，非负性，对称性，满足三角不等式，在此基础上定义了度量空间。如果在取模的时候系数可以提出来，那就是范数，赋予范数的集合就是赋范空间，加上线性结构，那就是线性赋范空间。如果引入夹角的概念，可以定义内积，由内积可以导出范数，内积通常情况下就是欧几里得空间，有角度，距离和长度。1910年，希尔伯特引入无限维数组，在此基础上定义内积，成为希尔伯特空间，具有完备性的则是巴拿赫空间。在我看来，不管是，范数还是内积，就是个可以比较大小的实数。

在拓扑空间里面，用开集定义连续，舍弃了距离。感觉现代概率论在定义sigma field的时候，用到了集合的拓扑。

不动点理论，可以用介值定理证明一维的情况，f(x0)=x0

简谐振动，联立胡克定律和牛顿第二定律，可以得到一个二阶的常微分方程，它的解就是正弦或者余弦函数。

一个有趣的数学思想，比如求二分之一的导，就像手在一个平面平移是不可以反过来的，因为这是一个二维的空间，必须借助于三维的空间进行反转，然后回到的还是二维空间，不过此时已经翻过来了。

混沌，一个三维空间轨迹的运动，迭代中的耗散与驱动，在我看来，所谓迭代就是在求数值解。

分形，海岸线在严格意义上是无线长的，及其细微处都是有着结构的，如果不绕过的话。

测度，集合的长度，比如在0到1的闭区间上，有理数的长度是0，无理数的长度为1。ε-δ语言。

无穷，希尔伯特旅馆，所有正整数和奇数在数量上相等的。

牛顿莱布尼兹公式，联系了三个概念，积分，曲边梯形的面积，微分，不定积分，找一个函数的原函数。导数和微商还是有区别的。无穷小是个非常神奇的东西，0是无穷小，但又不是。

关于完备性，正数不具有完备性，1-2出现了负数。我有个问题，在正数做运算的时候，可不可以规定，被减数大于减数。-1开平方得到虚数，那可不可以规定，负数不可以开平方呢。

关于dirchlet 函数，在0到1上，自变量取有理数的时候，函数值为1，自变量取无理数的时候，函数值为0。黎曼不可积。我在想，从集合的测度想，有理数的集合长度为0，积分相当于函数值求和，不就是0嘛。