2021初三数学西城一模几综题分析

分析

我们先根据题意补全图形

第一问是想证明∠CAD=∠ABE

这一问的解法有很多，我们逐个来分析。

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思路分析1

可以看到∠1+∠3=∠BAC，

如果有能

∠2+∠3=∠BAC

就太好了。

顺着这个思路

容易发现

∠2+∠3=∠4.

（这是因为三角形外角等于不相邻内对角之和）

有了“∠4”我们自然要思考它与

∠ADC和∠BAC的关系，

从图中看，容易发现

∠ADC=∠4.

这是因为BE∥CD，

(两直线平行同位角相等)

这样我们就得到了

∠2+∠3=∠ADC，

∠2+∠3=∠BAC，

再根据

∠1+∠3=∠BAC，

得出∠1=∠2.

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思路分析2

可以看到∠2=∠ABC+∠CBE，

是否有∠1=∠ABC+∠CBE，

根据AB=AC,BE∥CD,

可知∠ABC=∠ACB,

∠CBE=∠BCD,

(两直线平行内错角相等)

但是并不能直接得到

∠1=∠BCD+∠ACB.

可以试着这样“构造”

在DA延长线上取一点F，使得∠DCF=∠ACB.

这样我们可得

∠BCD=∠ACF(公共角模型),

同时根据条件∠ADC=∠BAC，

可知∠DCF=∠DAF,

所以我们有

∠1=∠DAF+∠ACF

=∠DCF+∠BCD

=∠ACB+∠BCD

=∠ABC+∠CBE

=∠2.

能想到这样的做法还是根据

三角形外角等于不相邻内对角之和

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思路分析3

延长CD交AB于点G，

看到条件∠ADC=∠BAC,

再根据∠ACD=∠ACD.

可知△ADC∽△GAC.

则有∠1=∠5.

又因为CG∥BE，

有∠2=∠5

所以∠1=∠2.

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第二问简单分析

首先是找与CD相等的线段

如果没有思路“直接尺子量”

可以发现要证AE=CD.

我们该怎么样构造辅助线呢？

如果平时学习的模型套不上怎么办？

就是找全等。

题目的条件一定会暗示我们证明哪队三角形是全等的。

条件给出AB=AC，

第一问结论∠1=∠2.

一对角相等，

一组边相等，

多好的证全等暗示。

那应该选择哪两个三角形全等呢？

包含∠1与AC的三角形有△ADC等等。

因为我们是想证CD=AE,

所以肯定是找与△ADC全等的三角形。

观察图，没有直接能全等的三角形。

怎么办？

∠2与AB暗示了辅助线的做法

在BE上取一点H，使得BH=AD.

这样我们就有

△ADC≌△BHA(SAS).

则有CD=AH.

下面只需证明AH=AE，

∠AHE=∠2+∠BAH,

∠AEH=∠EDC,

∠EDC=∠1+∠ACD,

又因为∠ACD=∠BAH，

∠AEH=∠1+∠BAH

=∠2+∠BAH=∠AHE.

根据等角对等边就能得到

CD=AH，

所以AE=CD.

注：以上是分析过程，请同学自己写答题过程。