一次函数折线最短，期中、期末、中考都常考，你掌握了吗

八年级一次函数解答题专题评讲。

折线最短问题，不论是月考，期中期末考试，还是中考，都会经常遇到，重要但不难。

但是一旦它和一次函数、反比例函数或者二次函数相结合，组合成综合题目，在条件繁多，图形杂乱的情况下，难度会成倍的增加。

很多时候不是不会，是想不到。

下面这道题目就是典型的折线最短问题和一次函数相结合的综合解答题，接下来请细细体会其中的解题过程和思维方式。

第一步：列出题中重要的已知条件：

1、直线L1与L2关于x轴对称。

2、L1的解析式为y＝4－x。

以上两个条件是题目中公共的已知条件，第(1)问和第(2)问都可以使用，这说明这两个条件足以求解出第(1)问。

3、OM:MC＝2:1。

4、△OMP的周长最小。

第二步：分析这些条件。

1、根据已知条件“直线L1与L2关于x轴对称”可以得到两个结论：1、点B在直线L2上；2、点A和点C关于x轴对称。

2、根据已知条件“L1的解析式为y＝4－x”可以求出点A和点B的坐标。

第三步：根据分析解答问题。

根据以上分析可以得到第(1)问的解题思路：

先求出点B和点C的坐标，然后使用待定系数法即可求出直线L2的解析式。

第(2)问分析：

1、根据“OM:MC＝2:1”可以求出OM和CM的长。

2、根据“OB＝OC＝4”可以得知：三角形BOC是等腰直角三角形，∠OCB＝45度。

3、OM的长是定值，所以OP＋PM最小时，三角形OMP的周长最小。

4、使用对称法即可得出何时OP＋PM最小。

现在咱们知道了当O、P、N三点共线时（见加粗红线），三角形OMP周长最小，此时点P的位置在图中红色的点P处，这个点P是直线ON与直线L2的交点。

接下来要做的就是求点P的坐标：求出直线ON的解析式，然后和直线L2的解析式联立，解方程组即可求出点P的坐标。

剩下的过程是纯粹的计算，详细见下图。

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