利用三面角的正、余弦定理解高考题
在近年的高考试题中,立体几何常常以锥体或柱体为载体,命题呈现一题两法的新格局(即可用综合法解也可用向量法解).一直以来,立体几何解答题都是让广大学生又喜又忧.为之而喜是因为只要能建立空间直角坐标系,基本上可以处理立体几何绝大多数的问题;为之而忧是因为对于不规则图形来讲,建系的难度较大,问题不能得到很好的解决,而运用传统方法,要作学生较为畏惧的多条辅助线.本文以三面角为基本图形,研究其正、余弦定理,并将其应用到解高考题中.
三面角的相关定理直接讨论“面角”以及“二面角”的关系,与高考题常考的二面角问题更为契合,求解过程更为直接.本文以三道高考题为例,简介对应定理的使用方法.
一、三面角的定义及正、余弦定理
三面角是由具有公共端点的不共面的三条射线,以及任两条射线所成的角的内部构成的空间图形.公共端点称为三面角的顶点,射线称为三面角的棱,两棱所夹的平面部分(角)称为三面角的面(角).过每一条棱的两个面所成的二面角称为三面角的二面角.
题目2(2016年新课标1卷第18题)如图3,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角 D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60°.
图1
证明 本文仅证明 α,β,γ及A,B,C都为锐角时的情况.如图1,不妨设BA⊥VA,CA⊥VA,则∠BAC即为定理中的∠A.在RtΔV AB中,可得
同理在RtΔV AC中,可得
在ΔV BC中利用余弦定理可得：
在ΔABC中利用余弦定理可得：
代入公式可得：
上两式相加可得：cosβ cosγ+sinβ sinγ cosA=
分别在RtΔV AB 及RtΔV AC中利用勾股定理即可得结论成立.
三面角的正弦定理 三面角的三个面角的正弦与它们所对的三个二面角的正弦成比例.设三面角V-ABC的三个面角分别为α,β,γ,它们所对的二面角分别为：A,B,C,则
.
读者可参考上面关于余弦定理的证明过程证明正弦定理,本文不在赘述.除了该证明方法外,还可以点V为球心,1为半径构造单位球,三面角的三条棱与单位球的交点分别为A′,B′,C′.三面角的正、余弦定理与球面 ΔA′B′C′的正、余弦定理等价.关于球面三角形的正、余弦定理,读者可参看文[1],利用向量的内积,叉乘积,混合积等公式进行证明.
二、三面角正、余弦定理的应用
题目1(2017年新课标1卷第18题)如图2,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD,且 ∠BAP= ∠CDP=90°.
(1)略;(2)若 PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.
分析 本题的难度并不大,利用综合法及向量法都可以求解,但都涉及到一些辅助线.接下来本文借助上面的正、余弦定理求解.
解析 在三面角B-APC中,设面角∠ABC,∠PBA,∠PBC 分别用 α,β,γ 表示,其所对的二面角分别用P,C,A表示.根据题干信息可得：α=
.根据上文中的余弦定理cosP=
,代入数据可得：
即二面角A-PB-C的余弦值为
.
图2
图3
(1)略;(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM 所成角的正弦值.
(1)略;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.
分析 本题的难点在于题干中两个二面角的使用,且学生对于图形的识别较为困难,建系的难度较大.接下来,本文借助三面角的正、余弦定理求解.
解析 在三面角B-AEC中,设面角∠ABE,∠ABC,∠EBC 分别用 α,β,γ 表示,其所对的二面角分别用C,E,A表示.根据题干信息可得：α=
.根据上文中的余弦定理cos∠ABC=cosβ =cosαcosγ +sinαsinγ cosE,代入数据可得：
.利用三面角的正弦定理：
观察图像可知即二面角A-PB-C的平面角为钝角,所以该二面角的余弦值为
.
题目3(2018年新课标2卷第20题)如图4,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=
,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
三面角的余弦定理 三面角的一个面角的余弦,等于其余两个面角的余弦之积加上这两个面角的正弦与这两个面角所夹的二面角的余弦的连乘积.设三个面角V-ABC的三个面角的度量分别为α,β,γ,它们所对的二面角分别为：A,B,C,则有：cosα =cosβ cosγ +sinβ sinγ cosA.
图4
在文[2]中,笔者详细的分析过该问题,从多角度探究过该问题的解法并提出了该问题的一般结论.接下来,本文以三面角的正、余弦定理为基础来解决该问题.
该问题是一个逆向求解过程,点M是未知点,需要通过二面角的信息求解点M的信息,这正是本题最大的难点.用综合法涉及到构造辅助线,利用向量法涉及到较大地运算量.
为了叙述方便,在三面角A-PMC中,设三个面角：∠MAC,∠MAP,∠PAC 分别用 α,β,γ 表示,其所对的二面角分别用P,C,M表示.根据题干信息,则有
.
利用三面角的正弦定理：
,代入数据可得：
利用三面角的余弦定理：cosα=cosβ cosγ+sinβ sinγ cosP,代入数据可得：
将(1)式代入(2)式可得：
联立(2),(3)式,可得：(2sinα)2+(2cosα-3sinα)2=1⇒tanα=
同时可得：tanβ=2,即α,β恰好互余,代回正弦定理可得：
,即二面角P-AM-C的正弦值为
.
图5
结合向量法,如图5,以O为坐标原点,
的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.单独考虑平面xOy,直线AM 的方程为：y=2x-2,直线BC的方程为：x+y=2.联立两直线方程可得点M的坐标可得：
余下的便是常规的解题步骤,具体环节,读者可参看文[2].
能够利用三面角正、余弦定理解决的高考题很多,本文不在一一列举.总之,利用三面角的正、余弦定理直接研究面角与二面角的关系,绕过了复杂的运算过程.与单纯运用向量法相比,极大地减少了运算量.而弊端在于两个定理涉及的未知量较多,对于初学者而言,不够熟悉.但读者可以参考三角形的正、余弦定理进行类比记忆.