加入控制变量后结果悲催了？！
理论模型可以简洁、凝练地抽离出经济现象的本质，使我们能够进行更深层次的思考和分析。然而，建立理论模型并非易事，若能将 理论和实证有机结合，那更加难能可贵了。
为此，我们邀请到了中山大学岭南学院郭凯明副教授，与大家一同学习理论模型的构建。郭老师一直专注于经济转型与中国经济方面的研究，发表论文近 40 篇，其中《经济研究》7 篇。
郭老师将从模型设定初衷、最基本的假设条件入手，通过讨论各种可能的建模思路和弯路，让学生不自觉中已经建立起理论分析的思维模式。最终的目标是：让学生不仅能「读懂模型」，还能「折腾模型」—— 可以自己修改甚至新设模型。
目录
1 背景
1.1 问题的引入
1.2 什么是条件期望
2 Stata 实操
2.1 回到原例
2.2 通过实例演示
3 总结
1 背景
1.1 问题的引入
两小儿辩车
王小儿：我发现车越长越贵，比如，奥迪 A6L 就比 A4L 贵多了；
李小儿：那也未必，奥迪 R8 只有 4 米 4，但可以买两辆 A6L了。还有，我二爸开的那个公交车，12 米，才 30 万！
为什么车长与价格之间的关系并不'固定'？也就是说，如果用价格对车长回归，那么 R8，A6L，公交车会有显著的差异。
在大家做实证分析的最初阶段，经常会有一个困扰：原本主效应很符合预期目标，但加入了一个或几个控制变量后，主效应要么符号变了，要么不显著了。可是，关键控制变量不加入的话，审稿人必然会提出质疑。这是怎么回事了？要回答这个问题，让我们先从条件期望说起。
1.2 什么是条件期望
教育与收入的关系
春节临近，如何应对亲戚的'问候杀'，是一个亟待解决的现实问题。试想，举国欢庆的日子，大家齐坐一堂，面对读硕读博归家的你，七大姑问到：'大闺女，老大不小了，该干点正事谈个对象什么的呢，读那么多书干嘛呀'，你咽了咽口水'读书好啊，以后可以多挣钱孝敬您老人家'，话音未落，八大姑道：'哎呀瞎说，你看隔壁二狗子，高中没读完去做生意，现在赚老多钱了'….气氛顿时尴尬了，除了咽口水外，该怎么'杠'回去…
那就要了解条件期望的概念了：条件期望函数记为 ，是关于 的函数，考虑到 是随机的，所以条件期望函数也是随机的。比如给定 为受教育水平的一个定值，如 ，那么 就是表示所有读 12 年书的个体，其收入水平的期望值。
用图说明
图中，横轴表示受教育水平，纵轴则为收入，在每一个给定的受教育水平下（如：受教育年限 12 年），收入服从一个近似正态的随机分布。可以看到，由于存在着无法忽视的个体差异，使得某些低教育者的收入要高于某些高教育者的收入，但通常而言，教育水平高的人赚的更多。
看到这里，学习过初级计量经济学的同学肯定会想到，对，是'个人能力'的影响，是'个人能力'让二狗子和大闺女产生了收入的差异。确实如此，那么'个人能力'便是一个需要控制的重要变量。
2 Stata 实操
2.1 回到原例
让我们回到'小儿辩车'的引子。调入官方自带的汽车数据，研究汽车长度 length 对汽车价格 price 的影响。在多元回归中，加入的控制变量分别为里程数 mpg 和汽车重量 weight
利用外部命令 reganat (Filoso, 2013) 或 reganat2 对多元回归模型的系数进行图示：
. sysuse 'auto.dta', clear
. cap eststo clear
. eststo: reg price length
. eststo: reg price length mpg weight
. esttab, nogap
. reganat price length mpg weight, dis(length) ///
. biscat biline scheme(s2color)
虚线拟合线表示了不加入控制变量时 length 的影响，而实线是加入控制变量之后的。由之初的右上倾斜变为右下倾斜，这是一个本质性地改变。
回归结果
-------------------------------------------- (1) (2) price price --------------------------------------------length 57.20*** -104.9** (4.06) (-2.64) mpg -86.79 (-1.03) weight 4.365*** (3.74) _cons -4584.9* 14542.4** (-1.72) (2.47) --------------------------------------------N 74 74 --------------------------------------------t statistics in parentheses* p<0.1, ** p<0.05, *** p<0.01
对比 length 的系数可见，在一元回归时该系数显著为正（57.2），而加入控制变量后，系数为负（-104.9）并在 10% 的水平下显著。
原因分析
若真实的回归模型为 ① ，若此时将 的'贡献'剔除掉之后，得到的回归模型是 ② ，此时的 = ，若 与 相关， ，出现了内生性问题。若 与 无关，是否加入 并不影响 的系数。
2.2 通过实例演示
先进行正常的多元回归，加入主效应变量 length 和控制变量 mpg weight
sysuse auto.dta, clear reg price length mpg weight est store m1
接着，我们利用解构回归（regression anatomy）（参考《基本无害的计量经济学》）来'解读'正常的多元回归：1.先用 length 对控制变量 mpg weight 进行回归，然后可以得到一个残差项。2. 再用被解释变量对上一步的残差项进行回归。
. reg length mpg weight
. predict e, res
. reg price e
. est store m2
. esttab m1 m2 , nogap.
估计结果
-------------------------------------------- (1) (2) price price --------------------------------------------length -104.9*** (-2.64) mpg -86.79 (-1.03) weight 4.365*** (3.74) e -104.9* (-2.22) _cons 14542.4* 6165.3*** (2.47) (18.46) --------------------------------------------N 74 74 --------------------------------------------t statistics in parentheses* p<0.1, ** p<0.05, *** p<0.01
可以看到，最后得到的主效应估计结果一致，均为 -104.9 。在用 length 对控制变量 mpg weight 回归后得到的残差项，表示 length 剔除了其他解释变量对自己的影响的'结果'，将其再与被解释变量的回归就是一个'净'的效应。
3 总结
可见，加入控制变量后，我们关心的估计系数是否会产生变化，取决于与控制变量之间的独立性。
我们列出将会出现的四种情形
与控制变量之间完全独立，则加入控制变量对估计系数无影响（情形 1）
与控制变量之间相关，且完全通过控制变量的'途径'来影响被解释变量，则估计系数不显著（情形 2）
与控制变量之间高度相关，则加入控制变量后，估计系数都不显著（情形 3）
与控制变量之间相关，则加入控制变量后，主要解释变量的估计系数会出现大小和符号变化。具体变化取决于与控制变量间的正负相关性。（情形4）
若需进一步分析各个解释变量的相对重要性，可以参考 「R2分解：相对重要性分析 (Dominance Analysis)」 (微信版)，以及「连玉君-如何比较解释变量的系数相对大小？」。
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