水平滑轨、竖直滑轨和轻质连杆约束条件下的极值问题分析

机械美学

引言

近日，微主讲授“系统机械能守恒”部分，遇到了两物体在水平滑轨、竖直滑轨和连杆约束条件下的极值问题。在进行复杂的分析之后，得到的极值条件却非常简单，这让微主再次认识到了物理学科的简洁之美。

试题回放

参考解析

其实，考察滑块b可以发现，其初速度为零，末速度也为零，中间必然存在一个最大速度，而速度最大的那一刻，连杆对滑块b的作用力必然为零；此时刻之前，连杆是被压缩的；此时刻之后，连杆是被拉伸的。

那么，在这个特定的时刻，滑块a在哪个位置呢？

深度分析

以滑块a、b组成的系统为研究对象，系统机械能守恒，可以写出滑块a的高度h与两滑块速度的关系，再配上两滑块之间的速度约束，就可以找到滑块a竖直高度与滑块b速度的关系式。

对关系式求导，令导函数等于零，可得滑块b速度最大时，滑块a的高度恰巧为其初始高度的2/3。这个比例与滑块a的高度和连杆的空间指向均无关。

收获

此次理论探究，让微主再次领略了物理学科的简洁之美。