双节赠书 | 《玩不够的数学》
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10月3日赠书
3
《玩不够的数学：
算术与几何的妙趣》
第一章：
平面上的几何艺术
人们往往从悖论中获得思维的乐趣，而几何学的悖论就是不可能图形。如今我们已创造出数千种这样的二维图像，不断挑战我们的眼睛和思维。三角形、披萨饼、七巧板也蕴藏着无穷的变化和巧妙的发现。
不可能！你确信吗？
人们从透视错觉得来灵感，创造了神秘的“不可能图形”。人类的视觉系统让我们觉得这样的图形很奇怪。然而这些图形确实是可行的，并为我们带来双重乐趣——先是惊奇，然后理解。
亚历山大·马赛，1829 年生于法国坎佩尔。他在 1872 年发明了四眼纽扣的系衣服方法。相比其前身两眼纽扣，这个极其简单的物件具备不会因旋转而滑动的优点。四眼纽扣曾让其天才发明者变得富有，如今仍以数千亿的数量出现在一半以上的服装上。你也一定拥有几件配有四眼纽扣的衣服。然而，四眼纽扣也许应当早 1000 年就出现，甚至在古代就该问世。想象一下颇为有趣：伟大的亚里士多德或许忽略了这枚纽扣的存在，而他的生活质量本可以因此改善。
自行车、四色定理、整数和一条直线上的点之间双射的不可能性、康威生命游戏、便利贴、不可能图形，都是近来一些颇为简单的创意。很难解释它们为何这么晚才闪现在人类的脑海中。这些发现让人不禁自问，我们今天是不是也对身旁的一些想法视而不见——而我们的后代也许会对我们的盲目难以理解。
罗特斯维尔德，别无他人！
不可能图形及其无穷的变化带我们从心理学迈入奇幻艺术与数学的世界，最终来到计算机图形学领域。最近的一些研究成果既展示了人们对不可能图形更深入的理解，也暴露出我们思维的欠缺。
仔细找找，我们会在古代绘画和版画中发现不可能物体的蛛丝马迹（参见“不可能图形的先驱”）。然而，我们并不确定作者是否刻意留下这样的踪迹，还是仅仅出于对透视法则的无知、粗心或者错用。在威廉·贺加斯的版画或马塞尔·杜尚的不可能床中，图画是刻意为之，但离纯粹的构思还相去甚远，并且没有一个早期不可能图画脱离了现实世界。画中错乱的现实世界，似乎是制造错觉不可或缺的源泉。
1 不可能图形的先驱。法王亨利二世收藏的一本早于公元 1025 年的《圣经》选读中有一幅圣母像 (a)，画像中装饰柱的位置不合常理。我们可以认为这个错误不是有意而为，而是源于对透视的理解不足。在勃鲁盖尔 1568 年的画作《绞刑架下的舞蹈》(b) 中央有一具几何形状很奇怪的悬架——到底是艺术家有意在作品中安放这个奇怪的物体，还是在悬架透视效果上出了差错呢？威廉·贺加斯于 1754 年创作的版画 (c) 就是存心弄错的透视戏法。点烟斗的人在给他递火人的房子后面很远的山上。同样，羊群里最远的那头却画得最大！树也一样。马塞尔·杜尚在 1917 年根据一幅广告画画了一张不合常理的床 (d)。
瑞典人奥斯卡·罗特斯维尔德（1915—2002）是不可能图形无可争议的发明人。1934 年，年轻的奥斯卡在拉丁文课上百无聊赖。不知不觉间，他开始画出了像图 A 中那样摆放、位置不合常理的 9 个立方体。9 个立方体连起来，就有了图 B 中著名的“不可能三角形”。不可能图形就是这样诞生的。当他意识到自己画了什么后，奥斯卡·罗特斯维尔德将毕生都投入到研究透视悖论的问题中。
20 年之后，数学家罗杰·潘洛斯和他的父亲里昂内·潘洛斯重新发明的不可能三角形出现在《英国心理学期刊》（British Journal of Psychology）上的一篇科学文章中。今天，它被“不公正地”称为潘洛斯三角形，并有数不清的变化形式。
奥斯卡·罗特斯维尔德发明并且画了数百个不可能图形，为此，他的祖国瑞典在 1982 发行了一套印着其数百幅作品的邮票（见上图）以示纪念。莫里茨·科内利斯·埃舍尔用美妙的版画为这些令人困扰的几何物体带来巨大声誉，并首次将其置于复杂的图形创作中，彰显其魔幻般的美。
如今，其他艺术家继续着不可能图形和透视错觉的游戏，创造了引人思考的作品，个中玄妙力量可谓妙趣横生，令人啧啧称奇。其中最巧妙的艺术家包括我们认为堪称第一的桑德罗·德尔普雷特，以及冈萨尔维斯、尤斯·德梅、布拉多、莫莱蒂、恩斯特、福田繁雄、哈梅克斯、谢帕德、奥洛斯。
自 1934 年以来，悖论图形爱好者发明了各种令人难以置信的不可能物体，除此以外，数百篇针对不可能物体的文章也探讨了众多问题。这些让人称叹的小小图画引出了数不清的谜题，相关最新研究改变着人类对空间认知的理解，这至今仍是个挑战。
不可能图形的定义
乍一看，一幅不可能图形所展现的好像是人们习以为常的三维物体。但仔细端详，便能看出其中的不可能性：任何对整幅图形的逻辑解释似乎都无法成立。不可能图形为我们的视觉系统设下了陷阱。
陷阱通常是这样的：图形的每一部分立即被我们的大脑理解为一个三维物体，只有从一部分看到另一部分，试图从整体协调不同部分时，图形中自相矛盾的地方才会显现。不同的图形有不同的矛盾之处：
两个远近不同的平面，本不该相交却相交了；
物体中的某一个平面，从不同角度观察，可以被认为是在上面或者在下面；
图画中的某一个区域，结合图画中不同部分，可以看成是空的或者满的；
两个平面相交的角，可以是“凹陷”或者“凸起”等。
同样令人惊讶的是，一切所谓的“不可能”图形都是可能的。为了证明这一点，我们提出一般性定理（参见“如何让它们变得可能？”），或者做出一些三维物体并对其拍照，以产生想要的图像。“一些不可能图形”中就有一系列例子。观察者认为来自图形本身的矛盾，其实源自思维所做出的简单假设，而这些假设又将思维带进了理解上的死胡同。
2. 如何让它们变得可能？
“可不可以让不合逻辑的图形变得可能？”有一个简单的答案：用铁丝做出结构，每条线段用一根铁丝！也有更好的方法，下面的定理指出对于很多轮廓图画（包括不可能图形），我们可以找出与之对应的多面体来呈现其图像。
定理：对任何由直线段组成并可分割成多边形集合的图形F，存在一系列多面体P1,…, Pn和方向D，使得多面体P1,…, Pn沿平行于D方向在与D垂直的平面上的投影为图形F。
换句话说，从无穷远的地方沿着D方向观察P1,…, Pn，可以看到图形F。该定理对潘洛斯三角形和大部分相关物体都适用。它也可以推广到包含曲线的图，或用来研究其他类型的透视法。
该定理的证明很简单。假设图形 F(a) 可以分解成互不重合（某些线段在分解时可重复出现两次）的多边形 A1,…, An 的拼接(b)。对分解的每一个多边形 Ai 生成一个多面体 Pi (c)，使多面体两个形状为 Ai 的面垂直于 D 方向，并通过每一个顶点将两个面彼此相连（即：Pi 是底面为 Ai 的柱体）。从远处沿着 D 方向看(d)，多面体 Pi 呈现图像 Ai 。对与 Ai 相对应的不同多面体取不同的高度（使其每一条边都不会在多面体合并时消失），就得到了要找的多面体集合(e)。但我们注意到，该定理对不可能图形 3g 和 3j 不适用，因为它们的轮廓图不能被分解成一系列多边形。
在大多数情况下，这些假设，例如“物体的限定面一定是平的”或“在图画中看起来是直的，在空间中就一定是一条直线”，可以使人快速并正确地理解现实世界的图像。但在观察不可能图形时，这些假设会引起大脑对面积和体积相对布局的想象，反而使图画的各部分之间无法匹配。被蒙蔽的视觉系统难以摆脱自己设下的局部理解，种种疑惑就会令视觉系统得出看似矛盾的结论。于是，思维开始原地打转，徒劳地寻找着对图像的整体理解——合理的阐释虽然存在，却永远找不到。
不可能图形的实物化
长久以来，悖论图形的照片层出不穷。一开始，人们只能做出不可能图形的初级实物化作品，后来才令其愈加复杂。福田繁雄早在 1982 年就做出了埃舍尔版画《观景楼》的木头和塑料版本。
福田繁雄在 1985 还实现了埃舍尔的作品《瀑布》。此作之后又被乐高积木爱好者安德鲁·利普森做成了乐高积木版本（http://www.andrewlipson.com/lego.htm），天才发明家詹姆斯·戴森又设法用真的水实现了一个模拟此作的喷泉，好像水可以不尽流淌（http://news.bbc.co.uk/1/hi/uk/3046791.stm）。
不可能三角形能够阐述明显矛盾的机理，并加以解释，这就需要做出一个实物，使其从合适角度看时呈现不可能图形。让我们来观察不可能三角形的两个角，遮住第三个（如图所示）。
人们一定将该图形理解为三根横截面为正方形的长条 A、B 和 C 两两垂直相交，在空间中构成折线形。当然，如果这样理解，长条 A 和 C 并不相连。于是，当 A 和 C 的连接突然出现在完整的图画上时，视觉系统就判定这是不可能的。似乎三角形的任意两角总是可以相吻合，但三个角却不行。
不过，至少有三种方法可以让我们在空间中构造出一个图中三角形这样的物体。
(a) 第一种方法旨在不遵循我们视觉系统中的潜在假设：物体的限定面一定是平的。葛森·埃尔伯的摄影作品（http://www.cs.technion.ac.il/~gershon/EscherForReal/）展示了实际的几何形体从适当的角度 (A1) 拍摄便可准确地与矛盾的三角形相吻合。当然，我们从另一角度 (B1) 就能看出端倪：真实物体的各个面实际上是复杂表面，而非某一平面的片段。
(b) 第二种方法旨在不遵循潜在的假设：“在图画中看起来是直的，在空间中就一定是一条直线 (A2, B2)。”
(c) 在让不可能图形变为可能的方法中，最有效的办法就是让实际物体两个不同的线段重合。我们的视觉系统假设看到的每一条线段都代表着三维物体的唯一线段 S，于是，把物体在实际中并不相连的部分看成是相互连接的 (A3 , B3)。
找出视觉系统所做的潜在假设，是实现人工视觉系统的关键。1972 年发明并在 1975 年发表的 Waltz 算法，如今是人工智能技术的必修课。该算法致力于以三维图景展现仅由直线段组成的轮廓图画。
Waltz 算法成立的条件是：图画所表现的物体不超出图画界限；相交于同一个点的线不多于三条；图画所表现的是多面体，是由平面和直棱边构成的。
应用在不可能物体上，会出现两种情况：
Waltz 算法找不出任何三维的解释，在某种程度上，这意味着它找到了一个不可能图形（在其自己的假设条件下）；
或者，该算法也像人类一样被蒙蔽，并给出一种解释，但仔细观察后发现，这种解释从整体上看并不成立。
例如，Waltz 算法可以检测到图中台阶的不可能性，却对不可能三角形无能为力。
自 1972 年以来，人们对该算法不断加以完善；或者说，让它不断复杂化，以提高算法理解轮廓图画的能力，并弱化我们强加给它的视觉假设。然而直到今天，没有任何计算机程序能够得出完全令人满意的结果。三位计算机视觉专家——瓦利、马丁和铃木在一篇对该课题 30 年研究成果的总结性文章中写下如下结论：
“计算机是否能理解轮廓图画？在一定程度上，答案是肯定的，但计算机离拥有与人类思维等同的能力还有很大距离。通过不断改进方法，计算机程序能够恰当地理解越来越多的情况。但是，人类分析轮廓图形的能力因素仍未被集成到程序中，原因很简单，这些因素尚未被理解和发现。”
我们注意到，某些视觉失认症可导致患者无法辨别不可能图形。这些图形对他们来说并无矛盾之处。不是因为患者能找到复杂的理解方法，而是他们的视觉系统失去了察觉各部分之间不一致性的能力。可以说，我们的计算机已达到了这些视觉失认者的程度，但尚未达到健全人的水平。
一些数学方法试图描述这些矛盾图形的特征：罗杰·潘洛斯提出应用“上同调”的概念，而柯琳·瑟夫则提出用“辫子理论”的概念。这些方法似乎都不如 Waltz 算法及其变体强大。Waltz 算法及其变体是基于对一幅图画中 2 个或 3 个线段及其延伸线之间各种可能的连接类型的枚举。
设计三维陷阱
我们在试图实现等同于人类三维分析能力的算法过程中，遇到了不少困难，这源于大脑一项微妙的技巧：善于采用假设（因为这些假设通常带来正确结果），并在必要时禁用。面对所谓的不可能图形——正如我们刚说过，从来没有完全不可能的情况，计算机正是因为不具备这样的假设技巧（尚未被发现）而遇到了困难！一幅简单的图像也能难住计算机，因为可能存在好几种正确的理解。像我们视觉系统那样仅仅采取最有可能的一种理解，恰恰是一件极其难处理的任务。
4 “你所看到的一切并非一定是现实。”版画作者桑德罗·德尔普雷特说。两列火车穿过扭曲的图画，却又是图的一部分，它们会相撞吗？
如果设计一个三维物体，使其从特定角度看呈二维图像，并且该物体有可能属于不可能图形。这里，拥有严苛逻辑的计算机能派上大用场。
吉列尔莫·萨夫朗斯基、丹·迪莫尔曼和克雷格·葛慈曼在 1999 年提出了一般理论，用以设计表面看来是不可能图形的三维物体。在计算机程序的辅助下，该理论已被系统地应用在一系列著名不可能图形的创作上，并复制出莫里茨·埃舍尔、桑德罗·德尔普雷特、奥洛斯和尤斯·德梅等人复杂作品的三维模型。
5 桑德罗·德尔普雷特的象棋版画（上图）是“方向既朝上又朝下”棋盘的不可能图形。葛森·埃尔伯却通过拍照证明了它的可能性（左图）。
所有物体都有一个特点：只有从唯一一个特殊角度，并用一只眼睛观看时，它们才会造成自相矛盾的效果。于是，就产生两个问题：是否可以设计对双目视觉有效的视觉陷阱，即通过一对立体图像能否让矛盾物体产生立体感（例如不可能三角形）？是否可以设计能够旋转，并继续产生矛盾图像的视觉陷阱？这两个问题的答案都是肯定的。
一方面，唐纳德·希玛尼可早在 1998 年就成功制出对应不可能三角形的不同立体视觉图像。人们观察这幅图像时，会感觉看到了具有立体感的不可能图像。另一方面，契·柯和彼得·克韦希也成功针对一些具有对称中心的矛盾物体创作了图形动画。物体自身可以旋转（假设物体是多面体，且每一刻都保持其矛盾性）。但是，物体只能被连续形变。我们可以在
http://www.csse.uwa.edu.au/~pk/Impossible/impossible.html 欣赏这样的动画。
矛盾，是刺激数学逻辑推理的动力。同样，图形矛盾除了周身萦绕的神秘色彩及其带给人们的视觉乐趣之外，对于只能用双眼视觉系统看到两幅二维图像，并希望以此来探求和认知三维世界的人来说，在很长的时间内，这一矛盾都会不断地焕发思考与研究的热情。
无穷与不可能
在一幅图画中展现无穷的不可能图形，看起来可能有些无聊。然而，这却能产生令人困惑的图像，让眼睛面临艰巨的考验。
如果物质世界里不存在无穷，既没有无穷大也没有无穷小，那么任何的无穷图形都将不存在。两条铁轨在地平线相交的景象，“科赫雪花”在任意尺度截取的轮廓，只会是近似描绘现实世界中缺失的数学无穷结构——对无穷的任何图形描述都会是幻想。
然而，物理学与宇宙学都没能确定地回答无穷是否实际存在。这个问题或许压根就不属于科学领域。若我们假设无穷在物理上是存在的，比如，因为空间本身并不是有界的或者封闭的（与球体表面相反），那么两条平行铁轨在无穷远相交便是可能发生的情景。
目前，我们仍然对最终的物质现实和物理上的无穷一无所知，因此，数学无穷结构的表现形式算不上荒谬。于是，我们可以放手设计一些抽象物体，它们除了具有无穷的属性，还因自身结构而成为不可能。
看到这儿，无穷似乎是一个无缘无故的数学游戏。然而近来，若干研究贡献使无穷不可能这门艺术变得更加有趣。这才是本章的主题。
最初，创造无穷不可能图形需要从有限不可能图形开始，例如潘洛斯三角形（不在同一平面的三条边看起来相连，构成一个不可能三角形），将其各部分相连，并规律地填满纸面上的空间，赋予图画表面上的一致性。
不可能图形的无限重复
根据特定的不可能三角形图形，我们可以演化出多种无穷不可能的排列方式。工程师兼艺术家乔斯·莱思就创作了众多精美的版本（参见图 1）。
1 乔斯·莱思的无穷不可能图形。由重复的不可能图案沿两个方向铺满平面而得到，这些无穷不可能图形造成没有深度的奇特三维空间感。
每一幅图像都让人困扰，惊人程度远远超过了基础结构中的不可能图形。请看“乔斯·莱思的无穷不可能图形”图 b，我们的第一印象是，这是一张无限的三维网络，好似空心立方体堆砌而成，图形填满了三维空间。然而，我们很快发现图像整体存在严重的违和感，这下有些令人不舒服。在图像试图展示的假想空间中，每一个角落都充斥着不一致。随着对图画的观察，我们意识到，图画到处是谬误和无穷的自相矛盾。
乔斯·莱思将矛盾阶梯图样在单一的方向上平移，得到另一幅无穷不可能图形，这幅画略简单一些。阶梯设计将两个样本头对头放置，完美相接后，最终得到一个无穷阶梯。人们沿着阶梯下降的方向却总是越走越高（参见“要上去，只需向下走”）！我们在乔斯·莱思的网站上可以找到他创作的此类图像：http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=232。
长期以来，我们注意到只有在一定条件下，潘洛斯三角形或疯狂阶梯才是不可能的，即人眼将可见的直线理解为实际的直线，并且用最简单的方式理解组成部分之间的相对位置。
众多互联网网站都提供了奇妙的视觉骗局装置，试图实现几何上的不可能图形。有时，图形构造方式需要通过计算机模型加以描述和表达（参见《不可能！你确信吗？》）。
Escher 方式的永恒运动
人们甚至还录制了一些相关短片，其中最特别的就是荷兰艺术家莫里茨·埃舍尔著名版画《瀑布》的实物展示影片，如同永恒运动的运转方式，不禁让人信以为真（参见 https://www.youtube.com/watch?v=0v2xnl6LwJE）。
瀑布模型
两位艺术家曾将这些荒谬的几何游戏应用在大型雕塑上——他们竟然能卖得出去，还成功地安放在公共场所。其中，离荷兰马斯特里赫特不远处的比利时村庄奥否汶矗立着一座比利时艺术家马修·哈梅克斯的雕塑作品，就采用了扭转的方法：潘洛斯三角形的三边不再是直的，但透视法造成了幻觉，使人眼看到恰恰相反的景象。
另一个三角形大型创作位于澳大利亚珀斯市，是布莱恩·麦克凯和阿马德·阿巴斯在 1999 年创作的作品。该作品采用断裂的方法：在特定角度，人眼将实际不相连的部分视为相连，认定看到了不可能雕塑。
“无穷不可能”是否可能？
我们可能会问：乔斯·莱思提出的无穷图样到底是怎么回事儿。能不能设计一些“真正”会占据整个空间的三维物体，当从特定视角观察时，会产生无穷不可能图形？
我虽然不知道针对每一种三维物体的答案，但是，将某些物体转化成自相矛盾的无穷几何图形，还是很容易的。
以“乔斯·莱思的无穷不可能图形”图 c 为例，它是由一组 7 个立方体（即 6 个立方体围着一个中心立方体）在无穷次重复后组合而成的。单看这 7 个立方体并没有什么矛盾，多个 7 个立方体组的相对摆放位置才使图形在表面上产生了不合逻辑之处。为了形成这样的排列，只需让每一组东南方向和西南方向的两个立方体在实际上呈 L 形，即将立方体分解成“无穷不可能图形变成可能”右图中的样子。
另一个将无穷不可能图形变成现实的例子：请看一条由方形环按直线排列而成的无限链条（参见“无穷不可能图形变成可能”右图）。为了在空间内展示这条无穷的矛盾链条，可在每一枚方形环的适当位置截去一段，就会产生方形环后方的边穿过环到达前面的错觉。
里尔大学的弗朗塞斯科 · 德柯米特将这个想法变成了动画（这次采用圆锥透视法，而非散点透视法），可以在网页上看到：http://www.flickr.com/photos/fdecomite/sets/72157626054113902/。
2 不合常理的图画变成现实。站在马斯特里赫特附近的奥否汶村广场上，只要角度适当，就可以看到潘洛斯三角形（左图）。走动一下改变视角，就可以理解错觉的原因：我们发现不可能三角形的边其实是弯曲的（中图）。澳大利亚艺术家也在珀斯竖起另一座吊诡雕塑。
不可能的分形图
一个图形若能变为无穷，可能是因为它（有潜力）凭借自身的重复性结构而无限延伸，说得专业一点，因其在一个或两个方向上具有平移不变性。两千多年里，几何学已使我们习惯了这种无穷大。但除此之外，另一种几何无穷也已显现，那就是无穷分形图。
伯努瓦·曼德勃罗（1924—2010）在 1974 年创造的这个概念泛指任何可被无穷切割或分裂的图形或物体。这些结构通常具有内部的对称性——我们可以在其自身内部找到它们的整体形状，只不过更小一些，就像俄罗斯套娃。说得专业一点，它们具有位似不变性。
其实，分形最早出现在一个多世纪以前，数学家们试图阐明连续统（即几何直线）的精细结构。康托尔在 1870 年左右发现了今天所称的“康托尔三分点集”或“康托尔尘”：取一条线段，去掉中间三分之一，剩下两条线段，再去掉它们各自中间三分之一，剩下四条线段，以此类推。
人们曾认为拓扑异常是不可能实现的，但皮亚诺曲线（1890）及科赫雪花（1905）却将拓扑异常可视化，如：遍历实心正方形上每一个点的曲线、没有切线的曲线、能够限定一个有界面的无穷长度曲线，等等。
3 无穷不可能图形变成可能。
对“爱思考的眼睛”来说，无穷不可能图形 c（参见“乔斯·莱恩的无穷不可能图形”）变得可能。如图所示，将一组 7 个立方体中的两个立方体切割，所得到的结构就可以在实际中排列成多个无限长的柱子，这些无限长的柱子又可以并排放置。这样就正好得到了乔斯·莱思图像的“墙纸”。此外，相互嵌套的环状无穷不可能图形也可以通过经典的切割技术变成现实（右图）。
在经典几何学里，我们把物理空间看作实数对的集合（对于平面）或实数三元组的集合（对于空间）。这种构想不但实用，而且能帮助我们理解连续、速度、加速度、连通性等概念。
然而，量子物理学，以及在实践中无法深入探究无穷小的问题，使人们对基于实数建立的空间模型的有效性产生了怀疑——分形几何中无限分割的物体有着无限的精细度，因此，它们或许只是理论上的错觉。我们暂不考虑这个异议，仅承认经典空间模型与实际物理世界的模型相符，而且，分形在物理上也是可能的。
那么，难道就不存在有界尺寸的无穷不可能物体吗？无穷不可能结构将不再像乔斯·莱思的图像那样源自无限延伸的特性（纸张只能勉强呈现部分图像），而是源自其矛盾结构的无限精细度。
伦敦帝国学院的卡梅隆·布朗借助计算机程序得到的若干图像，为这一问题找到了肯定的答案。在这些生成图像中，他将分形及位似不变性物体的无穷分割与潘洛斯三角形一类图形的不可能性结合了起来。
以下展示了科赫雪花的构造过程，一个内部完全是空的，另一个具有内部支撑杆。布朗在每一步构造中所用的图样都是一幅不可能图形。此系列中的有限图形就是不可能图像一步步积累而成的分形图。
3 不可能图形的极限。将不可能图形的图示和科赫雪花的构造算法相结合，计算机图形学专家卡梅隆·布朗获得（至少乍一看）收敛至科赫雪花的无穷序列 (A)。然而在数学家的欧几里得空间里，无需任何技巧即可实现雪花图形。另一个可能存在极限的不可能图形序列则以正方形为基础 (B)。
有趣的是，图画的极限不是别的，就是雪花本身（或具有内部轮廓的变体）。一系列不可能图像由此诞生，而且可能拥有极限。随着无穷不可能的不断积累，荒诞之处也消失不见，如同在接近极限的过程中被吞噬。
两头或三头叉子，以及“恶魔音叉”都是不可能图形的代表图案。卡梅隆·布朗借此采用“康托尔尘”设计了多个无穷版本（参见“卡梅隆·布朗”中的图 a）。
康托尔的不可能叉子
这一次，极限图形每一步构造中的不可能性并没有被画出来，但我们却不难想象。其实，随着我们远离实心部分（上面），物体的截面变得越来越镂空：去掉中间的三分之一，再分别去掉剩下两部分中间的三分之一，如此重复。然而，物体最下端（下面）却又被填满了。由此，我们知道在接近极限的过程中，分形图可以保持不可能性。
“卡梅隆·布朗”中图 b 的图形源于皮亚诺曲线。布朗将创作不可能图形的经典过程用于构想皮亚诺曲线，又一次绘制出可能存在极限的不可能图形。
5 要上去，只需向下走。乔斯·莱思的无穷不可能图形是由埃舍尔的矛盾阶梯不断重复拼接而成。这样得到的图形虽是规律排列的上升阶梯，其真实方向却反而下降。其实，路易十四的宠臣富凯的纹章最适合采用无穷阶梯图案：“上升止于何处？”（Quo non ascendet?）富凯自以为皇恩日盛，实则走了下坡路。
6 卡梅隆·布朗将康托尔三分集（a 图右上）和恶魔音叉（a 图左上）相结合，又运用皮亚诺曲线 (b) 构建不可能图像 (c)。c 图的两个图形在任何尺度都是不可能图形。
但图 c 中的极限图形依然存在不可能性。这两个图形都是真正的分形图：它们具有非整数的维度。正如布朗所说，这些图画在任何尺度都是不可能图形。潘洛斯三角形的每个部分皆可能实现（无需任何技巧）。相反，图 c 中的图形即便在十分接近顶部时依然保持着几何不可能性，即在任何放大级别都保留着不可能性。
对经典不可能图形的分析指出：如果将图形分割为有限数量区域的集合，我们得到的每一个区域都呈现为一个可能实现的物体。针对乔斯·莱思提出的不可能图形，若找不到如“无穷不可能图形变成可能”所示的方法，则需要分割出无穷个区域。每个区域的面积则要大于一个对整幅图画都适用的常数。对布朗的最后两幅图画，这种“可能区域”分割方法需要无穷个区域来实现。而且，当接近最大边界时，无穷区域的直径趋于 0，而最大边界的分形维度大于 1。这一精彩的设想会引出一个新问题：能否设计一些更疯狂的图像，让不可能性在平面上的一个二维区域内累加？
希望读者为我们提供其他无穷不可能的构图。我有一个建议：结合门格海绵与不可能立方体，肯定会缔造一个相当别致的矛盾结构。
END
图文编辑 | 公理
《玩不够的数学:算术与几何的妙趣》
今天 [遇见数学] 联合 [图灵教育] 送出 3 本《玩不够的数学》, 你遇到过什么数学在生活和艺术中的美妙之处呢? 小编会从精选后留言中, 选点赞最多的前三位赠书, 截止日期 10.8 日 23:59 分截止.