【极坐标下的二重积分】图解高等数学-下 18

12.3 极坐标下的二重积分

如何用极坐标来表示二重积分, 从而更加方便的进行计算, 它的计算公式如何推导请看本节内容.

用极坐标表示二重积分

与直接坐标系下的二重积分一样, 在极坐标系下也是将整个区域分割成一系列小块, 请看下面的动画所示划分过程, 橙色的小区域不断地变小:

假设如果函数 f(r,θ) 定义在区域 R 上, 其边界为 θ=α, θ=β, 和曲线 r=g1(θ) 和 r=g2(θ). 观察下面的动画, 在区域 R 内小矩形为浅蓝色. 随着不断分割, 这些极坐标下的小矩形越来越小.

下面聚焦一小块极坐标矩形的面积是如何计算的, 请看下面的图形:

观察上图, 设 (rk,θk)(rk,θk) 为面积为 ∆ A 的小块中心, 然后有下面和式:

如果 f 在区域 R 上连续, 当网格不断细分后, ∆ r 和 ∆ θ 都趋于0. 这时 S 会趋于极限值. 此极限为 f 在 R 上的二重积分, 记为:

将上面∆ A 代入和式中, 则累次积分为: