2021韩国数学奥林匹克 决赛 部分题目 中文翻译

第一天

1.锐角中, 外心为, 内心为. 过作的垂线与分别交于点. 过作 平行线, 过作平行线, 两者交于. 设外接圆为, 其圆心为. 已知与再次交于点. 求证: 共线.

2.给定整数.若存在一对正整数, 满足如下两个条件:

求证: 满足以上条件的正整数对有无穷多个.

3.暂缺

第二天

对()个非空集合, 证明存在满足如下条件的个集合:

对任意,
对任意, 存在集合 (), 使得

5.内心为, 点所对旁心为. 点到的垂足分别为. 直线与交于点. 的外心为. 证明: 若在的内切圆是, 则的外接圆与点所对的旁切圆相切.

6.求所有函数 , 使得对任意 , 均有

这个试题是考生回忆版. 我在aops上联系了po出其中四道题的某考生, 他表示第三题实在回忆不起来了. 大致的结构还记得, 但是细节如果不完善的话, 很可能会失之毫厘, 谬以千里. 谨慎起见, 还是等官方版本比较好. 在2022年之前我们肯定会在kmo的主页上看到官方版本的.