关于圆的几何证明难题解析，老师：掌握解题思路，助力数学中考

圆是初中几何的重要知识点，也是中考的难点，在复习迎考的最后一周，为了帮助大家解决这些必考难点问题，本文就例题详细讲解与圆相关的几何证明题的解题思路，希望能给大家带来帮助。

例题1

如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．

（1）求证：EA是⊙O的切线；

（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；

（3）已知AF=4，CF=2．在（2）条件下，求AE的长．

1、证明EA是⊙O的切线

连接DC

根据圆周角定理和题目中的条件：同弧所对的圆周角相等，圆弧BC所对的两个圆周角分别为∠BAC和∠BDC，则∠BAC=∠BDC。

根据题目中的条件和结论：∠EAB=∠ADB，∠BAC=∠BDC，∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠ADC=∠ADB+∠BDC，则∠EAC=∠ADC。

根据圆周角定理和题目中的条件：直径所对的圆周角为直角，AC为⊙O的直径，则∠ADC=90°，∠ABC=90°。

根据结论：∠EAC=∠ADC，∠ADC=90°，则∠EAC=90°。

根据切线的判定定理、题目中的条件和结论： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，∠EAC=90°，点A在⊙O上，则EA是⊙O的切线。

2、求证△ABC与△AEF相似

连接BC

根据直角三角形斜边中线定理、题目中的条件和结论：∠EAC=90°，点B是EF的中点，则AB=BF=EF/2。

根据等腰三角形的性质和结论：等腰三角形的底角相等，AB=BF，则∠BAF=∠AFB。

根据结论：∠EAC=90°，∠CBA=90°，则∠EAC=∠CBA。

根据相似三角形的判定定理和结论：两组角分别相等的两个三角形相似，∠EAC=∠CBA，∠AFB=∠BAF，则△AEF∽△BCA。

3、求AE的长

根据相似三角形的性质和结论：相似三角形的对应边成比例，△AEF∽△BCA，则AF/EF=AB/AC。

根据题目中的条件：AF=4，CF=2，AC=AF+CF，则AC=6。

根据题目中的结论：AB= EF/2，AC=6，AF=4，AF/EF=AB/AC，则EF=4√3。

根据勾股定理和结论：AE+AF=EF，EF=4√3，AF=4，则AE=√EF-AF=4√2。

例题2

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于E，以AE为直径作⊙O．

（1）求证：点D在⊙O上；

（2）求证：BC是⊙O的切线；

（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面积．

1、证明点D在⊙O上

连接OD

根据直角三角形斜边中线定理和题目中的条件：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，DE⊥AD，O是AE的中点，则OD=OA=OB=AE/2。

根据题目中的条件和结论：AE为⊙O的直径，OD=AE/2，则点D在⊙O上。

2、证明BC是⊙O的切线

根据等腰三角形的性质和结论：等腰三角形的底角相等，OD=OA，则∠OAD=∠ODA。

根据角平分线性质和题目中的条件：角平分线可以得到两个相等的角，AD为∠BAC的平分线，则∠OAD=∠CAD。

根据题目中的条件：∠C=90°，∠CAD+∠CDA+∠C=180°，则∠CAD+∠CDA=90°。

根据结论：∠OAD=∠CAD，∠OAD=∠ODA，则∠CAD =∠ODA。

根据结论：∠CAD+∠CDA=90°，∠CAD =∠ODA，则∠ODA+∠CDA=90°，即OD⊥BC。

根据切线的判定定理和结论：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，OD⊥BC，点D在⊙O上，则BC是⊙O的切线。

3、求△BDE的面积

过E点作EF⊥BD，交BD于点F

根据勾股定理和题目中的条件：AC+BC=AB，AC=6，BC=8，则AB=10。

设⊙O的半径为r

根据题目中的条件：OA+OB=AB，OA=r，AB=10，则OB=AB-OA=10-r。

根据相似三角形的判定和结论：∠ACD =∠ODB，∠B =∠B，则△BOD∽△BAC。

根据相似三角形的性质和结论：相似三角形的对应边成比例，△BOD∽△BAC，则OB/OD=AB/AC。

根据题目中的条件和结论：OB/OD=AB/AC，AC=6，AB=10，OD=r，OB=10-r，则(10-r)/r=10/6，即r=15/4。

根据题目中的条件：OB=10-r，r=15/4，则OB=25/4。

根据相似三角形的性质和结论：相似三角形的对应边成比例，△BOD∽△BAC，则BD/OD=BC/AC。

根据题目中的条件和结论：BD/OB=BC/AB，OB=25/4，AB=10，BC=8，则BD=5。

根据题目中的条件：EF⊥BD，则∠EFB=90°。

根据相似三角形的判定和结论：∠EFB =∠C，∠B =∠B，则△EFB∽△ACB。

根据相似三角形的性质和结论：相似三角形的对应边成比例，△EFB∽△ACB，则EF/BE=AC/AB。

根据题目中的条件：BE=BO-OE，OB=25/4，OE=15/4，则BE=5/2。

根据结论：EF/BE=AC/AB，BE=5/2，AC=6，AB=10，则EF=3/2。

根据三角形面积的计算公式和结论：S△BDE=BD*EF/2，EF=3/2，BD=5，则S△BDE=15/4。

结语

关于圆的几何证明题，需要用到圆及其他几何图形的性质、定理，因为涉及的知识面较广，是有较大难度的一类题型。同学们在解决这样的难题时，在认真审题的基础上，需要理清圆及相关几何图形的性质、定理，尤其是要灵活运用相似三角形、直角三角形、等腰三角形的性质、定理进行证明计算。只要考生们按部就班地分析解题，就能成功应对这类题型，为数学中考取得高分助力加油！