数理史上的绝妙证明：电子自旋是相对论性质 | 贤说八道
近代物理的两大支柱是量子力学和（狭义）相对论。量子力学和（狭义）相对论是不分家的，它们之间有着千丝万缕的联系，这一点可从电子自旋的相对论性窥见一斑。
撰文 | 曹则贤（中科院物理所研究员）
01
量子力学方程的三个层次
提起量子力学，人们就会想起薛定谔（Erwin Schrödinger, 1887-1961）方程
，以为薛定谔方程就是量子力学的基本方程。这个看法我曾有过，但我觉得它很不全面，如果不是很不正确的话。薛定谔方程于1925年底由薛定谔构造出来（那是个传奇过程）并用于氢原子问题（相关内容于1926年分四部分发表），求得电子-质子体系中电子的能级满足关系
。这个结果，再现了玻尔原子模型给出的氢原子中电子能级公式，但是更高明。玻尔的氢原子能级公式
是一个量子数 n 的函数，其中量子数 n 来自轨道量子化条件。虽然玻尔的氢原子能级公式很好地解释了氢原子的光谱，但它依然是错的。薛定谔的原子能级
是三个量子数的函数，量子数
是相关联的。薛定谔方程是电子的量子力学方程的第一层次，波函数是单分量的。薛定谔1926年的论文的题目是“作为本征值问题的量子化”，大概到1987年才算有人看出这题目的深意，虽然当时参与协助的外尔（Hermann Weyl）早就明白。
1927年，泡利 (Wolfgang Pauli, 1900-1958）为电子构造了泡利量子力学方程
，这里的哈密顿量描述电子与电磁场之间的相互作用，
，其中（Φ ，A）是电磁势，σ是所谓的泡利矩阵（见下文）。泡利矩阵是2×2矩阵，因此此处的波函数必是两分量的，即要求
。泡利量子力学方程是电子的量子力学方程的第二层次，波函数是两分量的，称为旋量（spinor）。两分量波函数足以描述电子这样的自旋为1/2的粒子。
1928年，狄拉克（P. A. M. Dirac, 1902-1984）构建了关于电子的相对论量子力学方程。这其中关键的一步，类似做因式分解 x2+y2= (αx+βy)2 ，要求 αβ+βα=0，α2=β2=1， 前面的那个反对称条件是非常强的限制。一个合理的选择是α，β应为矩阵。狭义相对论考虑的是四维时空，最简单的α，β应为4×4矩阵。常规的狄拉克方程写法是
，其中
，
， i=1, 2, 3 ，其中σi是泡利矩阵。鉴于γμ都是4×4矩阵，则此处的波函数是4分量的。狄拉克量子力学方程是电子的量子力学方程的第三层次，它会告诉我们更多关于自然的奥秘。
02
二值问题、自旋与泡利矩阵
原子物理的研究，比如银原子束在非均匀磁场中的分裂问题（图1），原子谱线的双线问题，引出了二值问题（two-valuedness），就是哲学上的一分为二的问题。这个问题的理解最后着落到电子拥有自旋标签这个结论上。自旋的问题博大精深，自旋的发现是一场思维历险，有兴趣的读者可以深入了解一下。如何描述一个二值问题呢？ 如果表现的二值是等价的，则表现的是特征值， 用矩阵表示的话，应该用本征值为1和-1的2×2厄密特矩阵来描述。但是，本征值为1和-1那就意味着这矩阵的迹（trace）总为零。如果自旋是类似角动量的物理量的话，那自旋还要满足角动量的代数
。综合这几项考虑，表述的问题那就几乎没有多少选择了。这个描述电子自旋角动量的数学对象，就是泡利矩阵：
；
；
。
泡利矩阵所包含的内容就多了去了， 其中之一是它引领我们认识到，粒子的自旋是相对论性的。
图1. 著名的Stern-Gerlach实验，一束银原子经过非均匀磁场后总是被分为了两束(1922)
03
相对论度规
考察某四维空间，其中的距离由洛伦兹度规定义，即对于矢量 x= (x0，x1，x2，x3) ，其模平方为
。这样的空间就是狭义相对论的闵可夫斯基空间。所谓的洛伦兹变换A，就是保洛伦兹度规的变换，要求保证 |Ax|2=|x|2 成立。
群的同构方面的知识，告诉我们这个空间有其它的表示方式。考察洛伦兹群同 SL(2，C) 群之间的同构关系，每个矢量x= (x0，x1，x2，x3)，可以表示成一个2×2自伴随矩阵（就是厄米特矩阵）
，
有
，即这个矩阵的矩阵值再现了闵可夫斯基空间的洛伦兹度规。这个2×2自伴随矩阵一样构成了一个四维矢量空间，其四个正交基为
；
；
；
。
。明眼人可能已经注意到了，σ1，σ2，σ3 就是前述的泡利矩阵，而它们出现在闵可夫斯基空间的洛伦兹度规的表示中。这让人们隐约感觉到，自旋与狭义相对论有关。
04
狄拉克方程下的角动量守恒
狄拉克的电子哈密顿量为
。根据我们一直坚信的经典力学和量子力学的信条，一个物理量同哈密顿量之间的量子对易式（经典力学语境下是泊松括号）为零，则该物理量为守恒量。现在考察一个自由电子的角动量算符
（这就是经典的角动量定义）。可计算其任一分量同哈密顿量之间的对易式，
；可见
，也即自由电子的角动量不守恒。这是怎么回事，一个自由的电子怎么可能角动量不守恒呢？
如何消解这个矛盾？若假设电子具有大小ћ/2的内禀角动量，即自旋角动量矢量为
，则电子的总角动量为J=L+S。考察S的任意分量随时间的变化，发现
。 这样，我们得到了
，即算符 J=L+S 是守恒的。也就是说，若我们认定一个自由的电子其角动量应该是守恒的，那它就应该除了轨道角动
以外，还有个自旋角动量
。这就是人们常说的电子具有内禀角动量ћ/2，或者说电子是自旋1/2的粒子。在量子力学语境下引入的电子自旋这个概念，竟然凭借相对论性的狄拉克方程获得了存在的合理性。
05
多余的话
有一种说法，近代物理的两大支柱是量子力学和（狭义）相对论。我们看到，量子力学和（狭义）相对论是不分家的。它们有着某些千丝万缕的联系，只是在学问的深处才体现出来。
在给出相应的量子力学方程时，薛定谔1926年39岁，泡利1927年时27岁，狄拉克1928年时26岁，他们除了有极强的物理直觉以外，还有扎实的数学基础。这方面尤以泡利最为突出，他中学毕业时即有足够的数学水平研究广义相对论。泡利引入了泡利矩阵，其实那个矩阵据信在数学里出现过。但是在1925年，海森堡（Werner Heisenberg, 1901-1976）甚至没听说过矩阵，多亏了大师玻恩（Max Born, 1882-1970）敏锐地注意到了海森堡推导的关于谱线强度的内容与矩阵算法有关，这才有了所谓的矩阵力学（量子力学的一个别名）。数学，物理，很难说一个不懂数学的人做的物理算是物理。
关于物理的内容， 一方面描述自旋的泡利矩阵和洛伦兹度规有关系，另一方面（狭义）相对论量子力学方程的哈密顿量不能让自由电子的角动量守恒，除非给电子的角动量加上内禀的角动量ћ/2，也就是说相对论量子力学方程要求电子有自旋。这两点应该说没有人为地往一起凑的痕迹。巧合指向同一结果，巧合便有了确切的意义。类似的巧合还发生在量子概念引入的过程中。普朗克从瞎猜的熵与内能关系得到了黑体辐射公式， 又从玻尔兹曼的统计物理原理出发得到了黑体辐射公式。两个完全不同的假设，循着完全不同的路径，得到了同一样的公式，那就不是一般的巧合。那里的假设，比如
为整数的假设，就必须被认真对待了。
为整数，那
就是频率为
的光的能量单元。光的能量有最小单元
，这个结论吓坏了提出者本人，普朗克自己也没想到啊—普朗克后来一直被誉为“违背自己意愿的革命家！”
笔者还注意到一个问题，电子的量子力学波函数是由1分量而2分量而4分量这么扩展的，想起了数系是由unarion（实数）而binarion（复数）而quaternion（四元数）扩展的。可数还有octonion（八元数）啊，总觉得没有8分量波函数的量子力学方程，量子力学就不完整。量子力学不完整，这世界也不完美。
建议阅读
1. Erwin Schrödinger，Quantisierung als Eigenwertproblem (量子化是本征值问题)， Ann. Phys. 79, 361(1926)；79, 489(1926)；80, 437(1926)；81, 109(1926).
2. Wolfgang Pauli, Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons (磁性电子的量子力学), Zeitschrift für Physik 43, 601-623(1927) .
3. P. A. M. Dirac, The Quantum Theory of the Electron， Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 117 (778), 610. (1928).
4. Sin-itiro Tomonaga, The story of spin, The University of Chicago Press (1997).
5. S. Sternberg, Group theory and physics, Cambridge University Press (1994).
本篇取自曹则贤《惊艳一击——数理史上的绝妙证明》一书，外语教学与研究出版社，2019.
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