从学生思维断点出发——谈数学课堂引导

本周一次作业讲评课中，一道毫不起眼的填空题，意外卡住了不少学生，实话说这道题在我看来并不难，甚至可以“秒”杀，然而在课堂巡视过程中，听取了几位受困学生的想法之后，却发现这些思维断点并非没有可取之处。

路没走通，并不代表路不能走。

是让学生放弃原有想法，改用我的“秒杀特技”？还是因势利导，帮助他们完成“未竟之志”？

题目是锐角三角函数这一章中，在方格中的求值问题，作为填空压轴题，相对前面那些送分题，略有坡度。

题目

如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则AP:PB的值为__________，tan∠APD的值为___________.

利刃破竹

第一个空很容易，绝大多数学生都在图中找到了一对相似三角形，△ACP∽△BDP，并且成功求出了相似比为3：1，于是AP:PB=3:1；

山重水复

第二个空就精彩了，下列分别来看

学生甲

从对顶角出发构造相似，延长CD到格点E，连接AE，如下图：

尝试证明△APE∽△CPB，然而在没有添加其余辅助线的前提下，无功而返；

柳暗花明

学生乙

建立平面直角坐标系，用解析法求出直线AB和直线CD解析式，然后求交点P坐标，过点A作垂线构造直角三角形从而得到tan∠APD；

这也是唯一成功的一位，建系之后，直线AB解析式为y=1/3x，直线CD解析式为y=-x+3，求得点P坐标为(9/4,3/4)，根据CD的解析式，再求出直线AG解析式为y=x，得到G(3/2,3/2)，现在在Rt△APG中，各顶点坐标均已求出，可分别计算PG和AG，从而得到结果tan∠APD=2；

学生乙的数学基本功相当扎实，因此在上述解答过程中并无不适，但他的解法在其他同学眼中，却被视为畏途，至少有十几名学生看不懂直线AG解析式为什么是y=x，毕竟在学习一次函数时，两条直线垂直，则它们所在直角解析式的k值互为负倒数，不是所有学生都能理解，严格来讲，这种解法“超纲”了；

也不是不能用现有知识重新诠释这种解法，例如可利用等腰直角三角形，但作为一道填空题，学生的想法是怎么迅速怎么来。

至此，大致可将所有学生归为三类，即学生甲的思路是多数，学生乙仅此一例，剩下的是毫无头绪。

大道至简

然而这道题真正简洁的解法却并不是上面两种，在讲出这种解法之前，我在想，如何将学生的思维从失败之处“断点续传”？

我先问学生甲，你为什么要构造这一对相似三角形？

这个问题一下子把他问住了，对啊！为什么要构造相似三角形呢？求三角函数值，需要含这个角的直角三角形，或者将这个角转移到另一个直角三角形中，而构造的这一对相似，好像啥也没干成，所以这条思路从一开始就走歪了。

回到正常的思维上，如何构造一个含∠APD的直角三角形，过点A作CD的垂线，虽然可以得到直角三角形，但边长不好求，我猜想那位建立坐标系的学生，是否在此处被逼出了“解析大法”？

那便走剩下那条路了，将∠APD转移到一个能够求出边长的直角三角形中，转移角，我们能用哪些方法？

方格中，平行线总不难找，∠APD造成最大的困难就是顶点不在格点上，所以过点B作CD的平行线，如下图：

根据两直线平行，同位角相等，∠APD=∠ABH，连接AH之后，听到的是一片“悟”声，顺利得到结果tan∠APD=tan∠ABH=2；

卷土重来

原来的思路，也别放弃，或许能突破原有障碍？自己想的路，被证明是死路，味道并不好受，而一旦走通了，兴奋的应该不止他一个人。

回到学生甲的图中，由于是找相似三角形的条件受阻，那便先解决掉它！

观察△CPB，它有一个对顶角可用，还有一个∠PCB=45°，顺这条线下去，另一个△APE，是否也存在45°角呢？眼光转向∠PCB的对应角所在，∠EPA；

从点A到点E，“斜跨”了两格，而点E到点B，同样也“斜跨”了两格，连起来看？如下图：

这就很容易看出一对全等三角形了，于是我们可证明△ABE是等腰直角三角形，那么∠EAP=45°，解决了困扰学生甲思路的障碍，继续给时间思考，发现这条路上，相似三角形只是第一道坎……

相似三角形的证明解决了，接下来呢？继续蒙圈了，有少数学生得到了这一对相似三角形的相似比，算是走出了可喜的一步，AE:CB=√5:1，然后呢？

继续追问学生甲，你打算如何进行下去？回答说想求AP的长度，那行，咱继续朝“南墙”进发。

由于△APE∽△CPB，不妨设CP=a，BP=b，则AP=√5a，EP=√5b，由AP+BP=√10，CP+EP=2√2，列方程组√5a+b=√10，a+√5b=2√2，解得a=3√2/4，b=√10/4；

学生甲惊叹，这也能行？这却是他从来没想到过的一条思路。

现在所有他能想求的边都已经求出来了，可是离tan∠APD依然还有不小的距离。

峰回路转

至此终于想到构造直角三角形了，过点A作CE的垂线，回到了正常的思路，如下图：

过点A作AF⊥CD，依然从方格属性出发，△ACF为等腰直角三角形，AF=CF=3√2/2，而AP=3√10/4，利用勾股定理求出PF=3√2/4，得最终结果tan∠APD=2.

教学反思

这节课，我个人认为算比较成功，无论学生是否遇到过困难，最终都能顺利得到结果，即条条大路通罗马。

特别说一下，为什么要对偏离正常思路的学生继续“走歪路”？不会浪费宝贵的课堂时间吗？

我觉得不会，这节课的教学目标是三角函数在方格中的应用，在那条“歪路”上，学生看到了曾经被自己认为无法解决的困难，被奇迹般解决，利用一线三直角构造全等三角形，证明相似三角形，利用相似比构造二元一次方程组，建立平面直角坐标系等，是最简解法未经历的，也就是说，如果在这节课上，将学生思路否定掉，给出最简解法，这些经历就没有了，但恰恰这些经历，融合了学生已有的诸多知识，诞生了新的解题思路，也许这道题用起来很麻烦，拐了个大弯，但在别处，却有可能是捷径。

在课堂教学中，引导学生思维是每位教师的必修技，为追求“高效课堂”，让学生只沿某条思路走，似乎违背了教学的初衷，学生想到的思路未必和教师设想相同，这属于课堂突发事件，不要害怕这节课讲不完，也不要害怕歪路太偏，只要学生一直在思考，并且思考的内容与本课教学目标相关，就值得走下去。

同时也向学生传达一种解题价值观，认定了的事，就坚持走，哪怕浪费了时间走了弯路，只要最终回归了，再进行解题反思，对自己为何会偏离认识更深，正如学生甲的思路，绕了一大圈，最终仍然回到了构造直角三角形中来，而这，正是解这一类问题的“阳关道”。