初中数学解题策略指导（下）
3.设参列式
题中存在较为复杂的数量关系时，我们可以设出合适的参数，再用此含参数的代数式表示相关数量，以方便寻找新的关系和结论。
例5.正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上一点，CE=3，DF=2，∠FEC=2∠BAE，求正方形边长.
题中条件“∠FEC=2∠BAE”直接看不出下一步结论，我们先设∠FEC=2∠BAE=2α，则∠BEA=90°－α，再得∠AEF=180°－(90°－α)－2α=90°－α，可得结论∠AEF=∠BEA，这个结论一旦出现，下面的思路就容易了，构造翻折型全等，容易在ΔCEF中根据勾股定理求得正方形边长。
例6.如图，正方形ABCD边长为2，E是正方形内一点，CE=BC，EH⊥BC于H，点P是RtΔCEH内心，则DP的最小值为 .
本题中P是动点，我们通常先考虑P点的运动轨迹，用“动中寻定，以静动”的方法，动点的运动轨迹是由定值（定点、定长、定线、定角等）确定的，设∠PEC=α，∠PCE=β，则∠PHE+∠HCE=2α+2β=90°，α+β=45°，所以有定角∠CPE=135°，但ΔCPE是运动的，这时条件“CE=BC”就派上用场了，可得ΔCPE与ΔCPB全等，∠CPB=∠CPE=135°，产生了“定边对定角”模型，可知P点运动轨迹是BC为弦的弧，顺利转化为基本问题：点到圆的最短路径。
本题中利用参数α、β的关系求得定角∠CPB=∠CPE=135°是关键的一步，可见设参列式是寻找数量关系的一般策略。
4.完形构造
模型化是数学中重要的思想方法，数学问题都是通过构造数学模型解决的，这里可分为三个层次：
（1）组形：当题中已经具备完整的模型，识别相关元素并组合构造成特定数学模型。
例7.已知RtΔABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，BD⊥AB，M是射线BD上一点，CN⊥CM交AB于点N，求MN的最大值。
根据条件识别图中具备ΔACN与ΔBCM相似，从而构成“一转成双”模型，寻得另一对相似ΔMCN与ΔBCA。
由于线段MN两个端点都是动点不易确定其最小值，可转化为求CM的最小值，即为定点到定线模型，当CM⊥BD时最小，此时CM=3，MN=6。
（2）补形：当题中的模型残缺不完整时，添加补充合适的元素构造完整的数学模型。
例8.正方形ABCD边长为4，E、F分别是AD、BC上的点，且AE=CF，作AP⊥EF于P，求DP的最小值。
看完本题，我们应会感觉到已知图形太单薄，一定是需要补充点什么，由AE=CF且AE∥CF我们想到“X形”全等模型，如下图可得AO是定线。
再由∠APO=90°形成“定线对定角”模型，知P点轨迹是圆弧，问题即为“定点到定圆”的最短路径问题，如下图自然易求DP的最小值。
（3）变形：当题中的条件孤立隐蔽无联系时，把题中关键元素进行运动变换从而构造出新的数学模型。
例9.如图，F是ΔABC的中点，以AB、AC为斜边作RtΔABD和ΔACE，∠ADB=∠AEC=90°，∠BAD=∠CAE，求证：DF=EF.
题中DF、EF所在的图形没有现成的模型，无法产生联系，因而需要用变换的方式进行构造。题中有丰富的相等关系，可以猜测判断应该构造的模型是全等三角形。我们从中点条件看，常用的变换方式有：以线段端点为中心1：2缩放或以中点为中心旋转180度，分别可构造“A”形相似或“X”形全等。
①分别以点B、C为中心把ΔBDF和ΔCEF以1：2放大，构造“A形”相似（即倍长BD、CE）：
同时出现“手拉手”模型：
②分别以点B、C为中心把ΔABC以2：1缩小，构造“A形”相似（即取AB、AC中点）：
同时出现“斜边中线”和“SAS全等”：
③以点F为中心把ΔBDF旋转180度，构造“X形”全等（即倍长DF）：
同时出现“一转成双”型相似和“斜边中线”：
根据此图还可推得∠EDF=∠BAD=∠CAE，∠DFE=2∠ABD=2∠ACE。
下图是以点F为中心把ΔCEF旋转180度，构造“X形”全等（即倍长EF）：
④以点F为中心分别把ΔADF、ΔAEF以1：2放大，构造“A形”相似（即倍长DF），同时出现“X形”全等和“SAS”全等：
完形构造是解决数学题的通用策略，思考问题时要把题目条件与数学知识与模型相联系，根据需要补充辅助元素构造完整的数学模型，问题便可得以解决。
1.归纳应用：从简单情形入手，归纳一般规律以解决复杂情况，多用于解决数、式、图的排列与计算问题。
例10.古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……叫做三角形数，第100个三角形数为 ，2016是第 个三角形数。
相邻数据的差是等差数列，符合二阶等差数列特征：（1）1=1；（2）3=1+2；（3）6=1+2+3 ；（4）10=1+2+3+4；……（n）1+2+3+……+n=n(n+1)/2，利用此关系式得第100个数为5050；2016是第63个数。
例11.求下列式子的结果：
原式数据太多，而且数的排列具有规律性，我们先从简单情形进行计算归纳规律：
从而得出它的结果是三角形数，第n个式子的结果为n(n+1)/2，n=100时得结果为5050.
2.轨迹定位：问题中出现未知点或动点时，先确定该点的所在轨迹，再转化为与轨迹图形相关的问题加以解决。
例11.四边形ABCD中，BC=6，AB=AD，∠BAD=60°，∠BDC=45°，求AC的最大值。
图中有“BC=6，∠BDC=45°”，符合“定线对定角”模型，可判断D点在以BC为弦所含圆周角为45°的圆弧上：
D点是主动点，A点是从动点，A点由点D绕点B逆时针旋转60度所得，由“主从联动”模型，可得点A的轨迹为弧BDC绕点B逆时针旋转60度所得的等弧，圆心同样为点O绕点B逆时针旋转60度而得的点E：
这样CA的最大值转化为“定点到定圆”的最大路径问题，即为CE+AE的值。
换一种角度，把ΔABC绕点B顺时针旋转60度至ΔDBP，得DP=AC，同样可转化为定点P到定圆O的最大路径问题。或直接在ΔDOP中三边满足DP≤DO+OP，即可求得DP的最大值。
例12.已知抛物线y=-0.5x2+3x+8与x轴分别交于点A、B，D（3，0），E（0，5），抛物线上有一点P（异于B点）满足ΔPDE的面积与ΔBDE相等，求P点坐标。
由ΔPDE的面积与ΔBDE相等可知P点到DE的距离与B点到DE的距离相等，可确定P点所在直线是两条到DE的距离为定长的平行线，利用直线与抛物线相交可求得P点坐标。
如图，由OM：OD=OB：OE可得OM=10/3，DN=DM=25/3，可求两条直线解析式分别为y=-5/3x-10/3、y=-5/3x+40/3，再由解析式即可得P点坐标。