“六字诀”破除“另类”和定最值
上一期给大家说过常规的和定最值可以利用：“求最大值让其他量尽可能小，求最小值让其他量尽可能大”这种方法来列方程解和定最值问题是我们比较常见的，但碰到稍微有难度的和定最值问题，就很难驾驭方程这一方法，今天就带大家来学习“小系数，同方向”这六字诀来解此类问题。
一、应用环境
题干中直接或者间接给出“和一定”的描述，并且存在明显的两条等量关系;问题所求为某个量的最大值或者最小值。
二、具体思路及“六字口诀”
能够列出不确定具体系数的二元一次方程组，我们只需要依据题意确定系数即可。具体确定系数的口诀为：小系数，同方向。
三、口诀含义
小系数，从系数较小的未知量入手;同方向，小系数与自身未知量取值方向相同，大系数与小系数方向相同。
四、常见应用
【例1】共有100个人参加某公司的招聘考试，考试内容共有5道题，1-5题分别有80人，92人，86人，78人和74人答对，答对了3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过考试?
A.30 B.55 C.70 D.74
【答案】C。解析：方法一：1-5题分别有80人，92人，86人，78人和74人，则答对题目总数为80+92+86+78+74=410题。即本题就是在答对题目数一定的情况下求通过的人最少的有多少人，属于和定最值问题。答对题目数一定，想要通过的人最少，没有通过的人数就要尽可能多，且没通过的人答对的题目也应尽量多。故：假设100人全没通过考试，最多可答对100×2=200题，则通过考试的人共答对410-200=210题，要想通过考试的人少，则通过的人每人答对的题目应尽量多，最多即为每人都答对5题，则至少有210÷(5-2)=210÷3=70人通过考试，故本题选C。
方法二：对于本题考试结果只有两种情况，要么通过，要么没通过两种情况，也可以列方程来求解。此时，我们设通过考试的人数为x人，未通过考试的人数为y人，依据题意可以得到x+y=100，又因1-5题分别有80人，92人，86人，78人和74人，则答对题目总数为80+92+86+78+74=410题，即通过的人答对的题目加上没通过的人答对的题目等于410。可得(3，4，5)x+(0，1，2)y=410，第二个方程系数不确定，无法快速求解，此时就可用“小系数，同方向”来帮助我们确定。比较x与y系数，明显y的系数更小一些，所以我门从y入手，问题所求为通过的人数x最少，就让y应尽可能的大，故系数的选取也应与之方向相同，即y的系数取最大的2，而x的系数也要与Y取值的同方向即取最大值5，可得到5x+2y=410，此时结合x+y=100，容易得出x=70，选择C选项。
方法应用：通过以上两种方法的比较，可以发现对于这一类题目我们可以通过设未知数列方程，再根据六字口诀“小系数，同方向”来确定系数，转换成常规二元一次方程组的形式再求解。
【例2】书法大赛的观众对 5 幅作品进行不记名投票。每张选票都可以选择 5 幅作品中的任意一幅或多幅，但只有在选择不超过 2 幅作品时才为有效票。5 幅作品的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的 69%、63%、44%、58%和 56%。则本次投票的有效率最高可能为多少?。
A.65% B.70% C.75% D.80%
【答案】B。解析：题干描述中虽然并没有共多少人参与投票，但给出了许多百分数，故我们可以设“共有 100 个人参与投票”，题目告诉我们 幅作品的得票数分别为总票数的 69%、63%、44%、58%和 56%”，可以得到总共投票张数为69+63+44+58+56=290。此时，我们设有效票人数为x人，无效票的人数为y人，依据题意可以得到下面两个方程x+y=100，(1，2)x+(3，4，5)y=290，之后我们只要确定x和y前面的系数就可以了。此时用到“小系数，同方向”即可，x与y系数，明显x的系数更小一些，所以我门从x入手，问题所求为通过的人数x最多，故x和y系数的选取也应与之方向相同，即选择2和5，得到2x+5y=290，此时结合x+y=100，容易得出x=70，选择B选项。
【例3】有30名学生，参加一次满分为100分的考试，已知该次考试的平均分是86分，问不及格(小于60分)的学生最多有几人?
A.9 B.10 C.11 D.12
【答案】B。解析：根据题干该次考试的平均分是86分以及问题可知本题是和定最值的题目，虽然不知具体有多少到题目，但是这30位同学无非就分为了及格和不及格，不妨设不及格学生人数为x，及格人数为y，可得x+y=30。另外根据题干该次考试的平均分是86分，可知30人所得总分为86×30=2580分。这个分数是由及格的学生和不及格学生考试中得分的总和，可以以此为等量关系建立第二个方程。因不及格学生的得分只能在0～59分之间，及格学生的分数在60～100分之间。故可列式为(0～59)x +(60～100)y=2580,此时用到“小系数，同方向”即可，x与y系数，明显x的系数更小一些，所以我门从x入手，问题所求要求不及格x(小于60分)的学生最多，故x和y系数的选取也应与之方向相同，即选择59和100，得到59x+100y=2580，此时结合x+y=30，容易得出x=10，故答案选B。
对于这类和定最值问题问题，核心是根据“小系数，同方向”来确定系数，先找到小系数，再结合题干要求确定小系数对应的未知数的取值情况，进而确定系数。掌握了这个小技巧，再加以练习，相信大家攻破这类题指日可待。