数学公式邮票中的物理内涵
本篇为笔者发表在《新高考》杂志上的系列文章。
你见过印有数学公式的邮票吗？早在1971年，尼加拉瓜就曾经发行过十张一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”的邮票。这些邮票是根据一些著名数学家选出的十个对世界发展极有影响的数学公式进行设计的。其实，这十个数学公式中，除了“手指计数基本法则”、“勾股定理”和“纳皮尔指数与对数关系公式”三个纯属数学学科外，其余七个公式则包含着丰富的物理内涵。
下面，向你展示这些具有物理内涵的数学公式邮票图片，介绍公式的物理意义及相关物理学家的事迹。
●阿基米德杠杆原理
——F1x1=F2x2
在力学里，典型的杠杆是置放连结在一个支撑点上的硬棒，这硬棒可以绕着支撑点旋转。当杠杆处于静止状态或匀速转动状态时，我们就称之为杠杆平衡。公式F1x1=F2x2，即动力×动力臂=阻力×阻力臂，就是杠杆平衡的条件。当动力臂大于阻力臂时，动力小于阻力，杠杆省力；当动力臂小于阻力臂时，动力大于阻力，杠杆费力；当动力臂等于阻力臂时，动力等于阻力，杠杆既不省力也不费力。杠杆原理是由阿基米德发现的，故称为阿基米德杠杆原理。
阿基米德（公元前287年〜公元前212年）是古希腊哲学家、数学家、物理学家、发明家、工程师、天文学家。他出生于西西里岛的叙拉古，第二次布匿战争时期死于罗马士兵之手。阿基米德对物理学的影响极为深远；他对于数学的贡献，使阿基米德被很多人视为欧洲古代最杰出的数学家，和所有时代最杰出的数学家之一。他曾和牛顿及高斯被西方评价为有史以来最伟大的三位数学家。
在埃及公元前一千五百年前左右，就有人用杠杆来抬起重物，不过人们不知道它的道理。在阿基米德发现杠杆原理之前，是没有人能够解释的。当时，有的哲学家在谈到这个问题的时候，一口咬定说，这是“魔性”。阿基米德则根本不承认这种看法。
在《论平面图形的平衡》一书中，阿基米德最早提出了杠杆原理。他首先把杠杆实际应用中的一些经验知识当作“不证自明的公理”，然后从这些公理出发，运用几何学通过严密的逻辑论证，得出了杠杆原理。这些公理是：(1)在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上相等的重量，它们将平衡；(2)在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上不相等的重量，重的一端将下倾；(3)在无重量的杆的两端离支点不相等距离处挂上相等重量，距离远的一端将下倾；(4)一个重物的作用可以用几个均匀分布的重物的作用来代替，只要重心的位置保持不变。相反，几个均匀分布的重物可以用一个悬挂在它们的重心处的重物来代替……正是从这些公理出发，在“重心”理论的基础上，阿基米德发现了杠杆原理。
阿基米德说：“给我一个支点，我就可以移动地球！”但是，这样的支点是无法找到的。希腊国王不相信杠杆有此神奇的作用，阿基米德便借了一艘大船，他运用杠杆原理以及滑轮巧妙地组合机械，船载满乘客及货物后，让国王用手轻轻的拉一条绳子，大船就直线前进了，令国王很是惊讶与佩服。
在保卫叙拉古免受罗马海军袭击的战斗中，阿基米德利用杠杆原理制造了远、近距离的投石器，利用它射出各种飞弹和巨石攻击敌人，曾把罗马人阻于叙拉古城外达三年之久。
阿基米德的成就，除杠杆原理外，还有著名的浮力原理——“物体在液体中的浮力等於它所排开的液体重量”。相传希腊国王让人打造了一个王冠,但怀疑工匠在其中掺杂了其他金属,于是问阿基米德能否判别出来.后来阿基米德在澡盆里洗澡的时候看到水往外溢，同时感到身体被轻轻托起,突发奇想,发现了浮力原理。
他也是杰出的数学家，著有《圆的量度》《拋物线的求积》《论螺线》《论球和圆柱》《论劈锥曲面体和球体》《数沙术》《论平板的平衡》等书。阿基米德最得意的杰作是导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的2/3倍，这个图形就刻在他的墓碑上。
需要指出的是，我国古代的劳动人民在生产实践中早就使用杠杆了，至春秋时期应用桔槔已相当普遍。桔槔是一种提水灌溉的器具，它是用一根横梁拴在直立的木桩或树杆上，可自由转动，横梁一端用长绳垂下水桶，另一端则以重物平衡，用这种器具提水可大大减轻劳动强度（如图所示）。桔槔事实上就是一种杠杆。另外，在长沙左家公山，曾出土战国初期根据杠杆原理制造的天平。我国战国前期兴起的墨家学派，总结了当时使用桔槔和天平的经验，在《墨经》中就有两条专门记载杠杆原理的。这两条对杠杆的平衡说得很全面。里面有等臂的，有不等臂的；有改变两端重量使它偏转的，也有改变两臂长度使它偏转的。墨家在讨论杠杆平衡时，不仅从正面指出使用杠杆时必须让杠杆水平达到平衡，还从反面论述杠杆不平衡的道理。墨家的这一发现比阿基米德早了约二百年。
●牛顿万有引力定律
——F=G m1 m2/ r2
任何两个物体之间都存在着因具有质量而产生的互相吸引力，人称“万有引力”。公式F=G m1 m2/ r2反映了万有引力与两物体的质量及距离间的关系，即万有引力的大小与两物体质量的乘积成正比，与两物体距离的平方成反比，式中的G为比例系数，称为引力常量。万有引力定律是由牛顿发现的。
牛顿（1643年1月4日〜1727年3月31日）是英国物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和煉金術士。他出生于英国林肯郡乡下的一个小村落伍尔索普村的伍尔索普庄园，逝世后与很多杰出的英国人一样被埋葬在威斯敏斯特教堂。牛顿是作为经典力学基础的牛顿运动定律的建立者，被誉为“物理学之父”。在2005年，英国皇家学会进行了一场名为“谁是科学史上最有影响力的人”的民意调查，牛顿被认为比爱因斯坦更具影响力。
牛顿小时候并不聪明，功课也不好，身体差、性格沉默又爱做白日梦，他的超人才智竟然是被一个野蛮的同学踢了一脚而唤醒的！牛顿决心发奋，誓言在功课上超越他，结果他不单在学校中名列前茅，18岁时便考进剑桥大学。牛顿24岁时，伦敦发生流行病，他便返回故乡，在一年半的时间里有了三个非凡的创见，发明“微积分”，发现“万有引力”，发现“光分七色”。
在大学里，牛顿学习了行星绕太阳运动的规律后，脑子中一直盘算着这样的问题：究竟是什么作用力使得行星绕太阳转个不停呢？正是在其24岁返乡期间，有一次，他正坐在花园里的苹果树下思考问题，突然一个苹果从树枝上掉了下来。看着落地的苹果，牛顿的心头开了窍。牛顿想，苹果为什么落到地面上，而不向空中“落”去呢？这说明地球对苹果有吸引力。那么，行星能绕太阳转个不停而不远离太阳飞去，是否也是由于行星受到太阳的吸引力呢？他又进一步推想，地球对月亮有吸引力，这个吸引力是否就是使月亮绕地球运转的力呢？世界万物之间的引力又存在着怎样的规律呢？
牛顿开始论证地球对月亮的引力确实就是月亮绕地球运行所需的向心力，然而由于当时测量数据的误差，牛顿的努力失败了。十几年后，法国科学家皮卡尔纠正了有关数据。牛顿得知后立刻联想到自己的计算，他很快按新数据重新计算，终于得到了满意的结果。牛顿又用同样的方法计算太阳对地球和其他行星的引力，都证明了万有引力的存在。
经过长期研究，牛顿终于揭开了万有引力的秘密，并把这一规律写进了1681年出版的《自然哲学的数学原理》一书中。可以这样说，苹果的“偶然”落地，促成了牛顿发现万有引力定律。在《自然哲学的数学原理》，牛顿除了总结出万有引力定律外，还提出了三大运动定律，建立了经典力学的基本体系，该书被誉为最伟大的科学著作。
说到万有引力的发现，还不得不提到另外三位科学家，他们是第谷、开普勒和胡克。
第谷是一位伟大的天文观察家。他在丹麦乌伦堡天文台工作期间，亲自设计改装天文观察仪器，加大了仪器的尺寸，提高了仪器的准确性。在长达二十多年的时间内，第谷测得了上千个星体的位置数据，误差不超过0.076度，他还发现了后来以他的名字命名的新星——第谷星，他对彗星的观察和研究改变了人们的错误认识。第谷经过长期的仔细观测，把此前数百年的星宿表都纠正了过来，他的不少第一手观测资料被整理成《路德福天文表》出版，成为研究天体运行的宝贵财富。
开普勒则是一位卓越的理论家。1600年，开普勒成为当时已在布拉格天文台工作的第谷的助手。他运用第谷临终前给他留下的全部观测资料和手稿，悉心进行研究。他在研究观测数据最详细的火星时发现，若根据圆周轨道进行计算，结果与观测数据总不能符合得很好。为此，他将行星的运动轨道大胆地解释为椭圆，经过难以想象的复杂计算，他终于在1609年提出了反映行星运动轨道形状的第一定律即“轨道定律”和反映行星运动速度规律的第二定律即“面积定律”，九年之后又发现了反映不同行星运动之间联系的第三定律即“周期定律”。
胡克是英国著名物理学家，他对万有引力也进行过富有成效的研究。1674年，胡克在他的《地球运动的实验证明》一书中，定性地认为天体都是互相吸引的。在一次聚会中，胡克还同其他几位科学家讨论过在平方反比的引力作用下物体的轨迹形状，他表示可以用平方反比关系证明一切天体的运动规律。1679年胡克在给牛顿的信中曾提到，太阳到行星的吸引力跟行星对太阳的距离的平方成反比。
这些，对牛顿的研究都产生了一定的影响。牛顿说：“如果我看得比较远，是因为我站在巨人的肩上。”这句名言，既体现了牛顿的谦虚，也确实是万有引力定律发现过程的真实写照。
最后需要说明的是，牛顿当年并没有给出引力常量的具体数值。直到100多年后，英国人卡文迪许利用扭秤，才巧妙测出了这个常量，从而使引力公式可以定量计算物体间的引力大小。卡文迪许测出的数值与近代用更加科学的方法测定的数值非常接近。
●麦克斯韦电磁方程组
——▽·D=ρ等
电磁方程组含有四个方程，不仅分别描述了电场和磁场的行为，也描述了它们之间的关系。由于其中除了高中物理中介绍的电场强度E、磁感应强度B外，还涉及高中学生所不熟悉的磁场强度H及电位移D，并涉及微分、积分、散度、旋度等高等数学运算，此处不便具体列出。四个方程分别表达了：电荷是如何产生电场的（高斯定理）；验证了磁单极子的不存在(高斯磁场定律)；电流和变化的电场是怎样产生磁场的（安培定律），以及变化的磁场是如何产生电场的（法拉第电磁感应定律）。最初形式的电磁方程组是由麦克斯韦建立的。
麦克斯韦（1831年6月13日〜1879年11月5日）是英国物理学家、数学家，经典电动力学的创始人，统计物理学的奠基人之一 。他出生于苏格兰爱丁堡，卒于剑桥。麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果。在科学史上，麦克斯韦可与牛顿齐名。因为，牛顿把天上和地上的运动规律统一起来，实现了第一次大综合，而麦克斯韦则把电、光统一起来，实现了第二次大综合。麦克斯韦被普遍认为是对物理学最有影响力的物理学家之一。
在麦克斯韦以前的许多年间，人们就对电和磁这两个领域进行了广泛的研究，人们都知道这两者是密切相关的。适用于特定场合的各种电磁定律已被发现，但是在麦克斯韦之前却没有形成完整、统一的学说。当时，关于电磁现象的学说都以超距作用观念为基础。认为带电体、磁化体或载流导体之间的相互作用，都是可以超越中间媒质而直接进行，并立即完成的。即认为电磁扰动的传播速度是无限大。在那个时期，持不同意见的只有法拉第。他认为上述这些相互作用与中间媒质有关，是通过中间媒质的传递而进行的，即主张间递学说。
直至1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），毕奥-萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831〜1845年）已被总结出来。
麦克斯韦大约于1855年开始研究电磁学，在潜心研究了法拉第关于电磁学方面的新理论和思想之后，坚信法拉第的新理论包含着真理。于是他抱着给法拉第的理论“提供数学方法基础”的愿望，决心把法拉第的天才思想以清晰准确的数学形式表示出来。他在前人研究成果的基础上，参照流体力学的模型，应用严谨的数学形式总结了前人的工作，提出了位移电流的假说，推广了电流的涵义，对整个电磁现象作了系统、全面的研究。在1855年至1864年的十年间，他凭借高深的数学造诣和丰富的想象力，接连发表了电磁场理论的三篇论文（《论法拉第的力线》、《论物理的力线》和《电磁场的动力学理论》），对前人和他自己的工作进行了综合概括，将电磁场理论用简洁、对称、完美数学形式表示出来。
不过，麦克斯韦1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。
1873年麦克斯韦出版了科学名著《电磁理论》，系统、全面、完美地阐述了电磁场理论。这部经典著作可与牛顿的《数学原理》（力学）、达尔文的《物种起源》（生物学）相提并论。
麦克斯韦电磁场理论的要点可以归结为：(1)几分立的带电体或电流，它们之间的一切电的及磁的作用都是通过它们之间的中间区域传递的，不论中间区域是真空还是实体物质；(2)电能或磁能不仅存在于带电体、磁化体或带电流物体中，其大部分分布在周围的电磁场中；(3)导体构成的电路若有中断处，电路中的传导电流将由电介质中的位移电流补偿贯通，即全电流连续。且位移电流与其所产生的磁场的关系与传导电流的相同；(4)磁通量既无始点又无终点，即不存在磁荷；(5)光波也是电磁波。
麦克斯韦的这一理论成为了经典物理学的重要支柱之一。据此，他预言了电磁波的存在，电磁波只可能是横波，并计算了电磁波的传播速度等于光速，揭示了光现象和电磁现象之间的联系。23年后，德国物理学家赫兹用实验证实了麦克斯韦关于电磁波的预测。麦克斯韦电磁场理论是无线广播的理论基础，也是爱因斯坦狭义相对论的重要背景。
此外，在热力学与统计物理学方面麦克斯韦也做出了重要贡献。他首次用统计规律得出麦克斯韦速度分布律，从而找到了由微观两求统计平均值的更确切的途径。他给出了分子按速度的分布函数的新推导方法，这种方法是以分析正向和反向碰撞为基础的。他引入了驰豫时间的概念，发展了一般形式的输运理论，并把它应用于扩散、热传导和气体内摩擦过程。 “统计力学”这个术语也是由麦克斯韦引入的。
麦克斯韦是运用数学工具分析物理问题和精确地表述科学思想的大师，同时也非常重视实验。他1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪许实验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪许实验室，1874年建成后担任这个实验室的第一任主任。在他和以后几位主任的领导下，卡文迪许实验室发展成了举世闻名的学术中心之一。
麦克斯韦严谨的科学态度和科学研究方法是人类极其宝贵的精神财富，他的电磁学理论为电器时代奠定了基石，为近代科学技术开辟了一条崭新的道路。爱因斯坦在麦克斯韦百年诞辰的纪念会上曾对他做出这样的高度评价：“麦克斯韦的工作是自牛顿以来，物理学上影响最深远与丰硕的工作。
●爱因斯坦质能关系式
——E=mc2
质能关系式E=mc2中，E为系统的总能量，m为系统的总质量，c为光速。这个关系式表示物质系统的质量和能量之间存在着等当关系。需要说明的是，这里的质量是广义的质量，包含静质量和各种能量中所对应的动质量；这里的能量也是广义的能量，包含静能和动能，其中静能指物体静止时具有的总能量，包括分子动能、分子势能，使原子与原子结合在一起的核能等。若物体的能量增加（或减少）△E，则其质量也相应增加（或减少）△m。质能关系式是由爱因斯坦首先发现的。
爱因斯坦（1879年3月14日～1955年4月18日）是20世纪犹太裔理论物理学家。他出生于德国小镇乌尔姆，逝世于普林斯顿。爱因斯坦创立了现代物理学的两大支柱之一的相对论（另一支柱是量子力学），在科学哲学领域颇具影响力。因为“对理论物理的贡献，特别是发现了光电效应”，他荣获1921年诺贝尔物理学奖。这项发现为量子理论的建立踏出了关键性的一步。
1905年6月，爱因斯坦完成了开创物理学新纪元的长论文《论运体的电动力学》，完整
地提出了狭义相对论。这是爱因斯坦10年酝酿和探索的结果，它在很大程度上解决了19世纪末出现的古典物理学的危机，改变了牛顿力学的时空观念，揭露了物质和能量的相当性，创立了一个全新的物理学世界，是近代物理学领域最伟大的革命。
狭义相对论不但可以解释经典物理学所能解释的全部物理现象，还可以解释一些经典物理学所不能解释的物理现象，并且预言了不少新的效应。它导致了光速是极限速度，导致了不同地点的同时性只有相对意义，预言了长度收缩和时钟变慢，给出了爱因斯坦速度相加公式、质量随速度变化的公式和质能关系式。此外，按照狭义相对论，光子的静止质量必须是零。
爱因斯坦根据狭义相对论导出的质能关系式，加深并发展了物质和运动的不可分离性原理。揭示了质量和能量是等价的，在本质上是同一的，证明了自然界之间存在着深刻的内在联系和统一性。质能关系式E=mc2被世人称为“全世界最著名的方程”。
对于质能关系式的物理本质和哲学解释，学术界存在着各种不同的看法，比较重要的有：(1)认为质能关系式在物理学上表示质量和能量的相互转化。与这种看法相联系，有人在把质量看作物质的根本标志，把能量看作运动的根本标志的前提下，得出物质转化为运动，因而物质可以“消灭”的唯心主义结论；有人则强调物质不能归结为质量，能量不能归结为运动，质量和能量的相互转化并不表示物质和运动可以相互转化，而只表示物质两种基本属性之间的转化。(2)认为质能关系式的物理含义在于揭示了质量和能量的不可分割性，而不是它们之间的相互转化。即物质系统中一定的质量总是同严格确定的能量相联系，没有能量就没有质量，没有质量也就没有能量。二者在数学上的等当关系并不意味着相互间没有质的区别，而是表明它们是在不可分割的联系中存在的。因此，只能把质能关系式理解并表述为质量和能量的不可分割性原理，从而表明物质和运动的不可分离性。
在狭义相对论的基础上，十年之后，爱因斯坦进一步提出了广义相对论。他用几何语言描述的引力理论，代表了现代物理学中引力理论研究的最高水平。广义相对论将经典的牛顿万有引力定律包含在狭义相对论的框架中，并在此基础上应用等效原理而建立。在广义相对论中，引力被描述为时空的一种几何属性（曲率）；而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相联系，其联系方式即是爱因斯坦的引力场方程（一个二阶非线性偏微分方程组）。
从广义相对论得到的有关预言和经典物理中的对应预言非常不相同，尤其是有关时间流逝、空间几何、自由落体的运动以及光的传播等问题，例如引力场内的时间膨胀、光的引力红移和引力时间延迟效应。广义相对论的预言至今为止已经通过了所有观测和实验的验证——虽说广义相对论并非当今描述引力的唯一理论，它却是能够与实验数据相符合的最简洁的理论。现在我们经常听到的黑洞、时光旅行、空间弯曲等等好像是科幻名词，可都是相对论所推导出来的。
爱因斯坦不拘成见，勇于创新。“怀疑一切”的信条始终贯穿他的整个科学生涯。当然，爱因斯坦的杰出科学成就来之于他坚持不懈的毅力。一次，有个青年人请教爱因斯坦成功的秘诀，爱因斯坦给他写下了一个公式：A＝X＋Y＋Z。他解释说，A代表成功，X代表你付出的努力和劳动，Y代表你对所研究问题的兴趣，而Z则表示少说空话，要谦虚谨慎。爱因斯坦有句名言：“科学研究好像钻木板，有人喜欢钻薄的，而我喜欢钻厚的。”
爱因斯坦一生总共发表了300多篇科学论文和150篇非科学作品。他为核能开发奠定了理论基础，在现代科学技术和他的深刻影响下与广泛应用等方面开创了现代科学新纪元，被公认为是继伽利略、牛顿以来最伟大的物理学家，被誉为“现代物理学之父”。1999年12月26日，爱因斯坦被美国《时代周刊》评选为“世纪伟人”。
●德布罗意公式
——λ=h/mv
公式λ=h/mv确定了粒子或一般实物的动量与物质波的波长之间的关系，式中λ为物质波的波长，h为普朗克常量（大小为6.63×10-34J·s），mv为粒子或一般实物的动量。物质波的概念和波长公式是由德布罗意首先提出的。
德布罗意（1892年8月15日～1987年3月19日）是法国著名理论物理学家，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。他出生于法国北部城市迪耶普，高龄九十五岁时逝世。
德布罗意本来是学历史的，受数学家庞加莱的影响而改学科学，1924年获巴黎大学博士学位，1932年任巴黎大学理论物理学教授，1933年被选为法国科学院院士。
受光具有波粒二象性的启发，他在博士论文中提出了“物质波”的概念。他认为波粒二象性不只是光子才有，一切微观粒子，包括电子和质子、中子，都有波粒二象性。他把光子的动量与波长的关系式p=推广到一切微观粒子上，指出：具有质量m和速度v的运动粒子也具有波动性，这种波的波长等于普朗克恒量h跟粒子动量mv的比，即λ=，还运用爱因斯坦的相对论进行了推导。这个关系式后来就叫做德布罗意公式。
从德布罗意公式很容易算出运动粒子的波长。例如，电子的电荷是1.6×10-19C，质量是0.91×10-30kg，经过200V电势差加速的电子获得的能量E=Ue=200×1.6×10-19J=3.2×10-17J。这个能量就是电子的动能，即=3.2×10-17J，因此v=8.39×106m/s。于是，按照德布罗意公式这运动电子的波长是λ==8.7×10-11m。这个波长与伦琴射线的波长相仿，这样短的波长，只有用晶体做衍射光栅才能观察到衍射现象。
后来人们的确用这种办法观察到了电子的衍射，证实了德布罗意的看法。1927年，·戴维森在贝尔实验室将电子射向镍结晶，发现其衍射图谱和布拉格定律（这原是用于X射线的）预测的一样。在德布罗意假说被接受之前，科学界认为衍射是只会在波发现的性质。而以上实验就证明了粒子有波的性质，肯定了波粒二象性的学说。物质波的概念为波动力学的发展提供了重要的理论基础。从此，物理学家可以使用德布罗意波长，并用波动方程来解释物质的现象。
物质波既不是机械波，也不是电磁波。机械波是周期性的振动在媒质内的传播，电磁波是周期变化的电磁场的传播，而物质波乃是一种几率波。物质波指的是物质在空间中某点某时刻可能出现的几率，其中概率的大小受波动规律的支配。比如一个电子，如果是自由电子，那么它的波函数就是行波，即是说它有可能出现在空间中任何一点，每点几率相等。如果被束缚在氢原子里，并且处于基态，那么它出现在空间任何一点都有可能，在最小半径处几率最大。
德布罗意关于物质波的论文发表，在科学界引起了极大的反响。爱因斯坦惊叹不已称道：“瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚呢！他揭开了一幅大幕的一角”。也惊动了老一辈物理学家：“这些青年人认为，拋弃物理学中老的概念简直易如反掌！”1929年，德布罗意因发现电子的波动性而获得当年的诺贝尔物理学奖。
●玻尔兹曼公式
——S=kInΩ
公式S=kInΩ反映了系统无序性的大小。式中：S是宏观系统的熵值，是分子运动或排列混乱程度的衡量尺度；k为玻尔兹曼常量，是热力学的一个基本常量，大小为1.38×10-23J/K；Ω是可能的微观态数，Ω越大，系统就越混乱无序。InΩ表示Ω的自然对数（指以常数e为底数的对数）。玻尔兹曼最早得出了S∝lnΩ，后来人们就将上述公式称为玻尔兹曼公式。
玻尔兹曼（1844年2月20日～1906年9月5日）是奥地利物理学家和哲学家，热力学和统计物理学的奠基人之一。他生于奥地利的维也纳，卒于意大利的杜伊诺。作为一名物理学家，玻尔兹曼最伟大的功绩是发展了通过原子的性质（例如：原子量，电荷量，结构等等）来解释和预测物质的物理性质（例如：粘性，热传导，扩散等等）的统计力学，并且从统计意义对热力学第二定律进行了阐释。
1854年德国的科学家克劳修斯首先引进了“熵”的概念。熵是表示杂乱程度的一个量。这个量在可逆过程不会变化，在不可逆过程会变大。像懒虫的房间，若没有人替他收拾打扫，房间只会杂乱下去，决不会自然变得整齐。熵是希腊语“变化”的意思。生物也离不开“熵增大的法则”，生物需要从体外吸收负的熵来抵消熵的增大。
1868年，玻尔兹曼利用克劳修斯有关熵的概念，在《关于运动质点活力平衡研究》的文章中，把麦克斯韦的气体分子速度分布律从单原子气体推广到多原子乃至用质点系看待分子体系平衡态的情况，把统计学的思想引入分子运动论，把物理体系的熵和概率联系起来，阐明了热力学第二定律的统计性质，并引出能量均分理论，得到有分子势能的麦克斯韦—玻尔兹曼分布定律。他首先指出，一切自发过程，总是从概率小的状态向概率大的状态变化，从有序向无序变化。
1872年，玻尔兹曼建立了玻尔兹曼方程，用来描述气体从非平衡态到平衡态过渡的过程。玻尔兹曼方程对于载流子的导电、导热等输运过程的分析，简单的方法就是采用所谓粒子平均运动的模型来处理，这能够得到载流子的各种输运参量，故又称输运方程。
1877年，玻尔兹曼又提出用“熵”来量度一个系统中分子的无序程度，并给出熵S与无序度Ω（即某一个客观状态对应微观态数目，或者说是宏观态出现的概率）之间的关系为S=klnΩ。这就是著名的玻尔兹曼公式。
玻尔兹曼通过熵与几率的联系，直接沟通了热力学系统的宏观与微观之间的关联，并对热力学第二定律进行了微观解释。他认为，热力学第二定律所禁止的过程并不是绝对不可能
发生的，只是出现的几率极小而已，但仍然是非零的。
玻尔兹曼最先把热力学原理应用于辐射，导出热辐射定律，称为斯忒藩—玻尔兹曼定律。他还注重自然科学哲学问题的研究，著有《物质的动理论》等。作为哲学家，他反对实证论和现象论，并在原子论遭到严重攻击的时刻坚决捍卫它。
需要强调的是，用牛顿力学来解释物体内每一个分子的运动，实际上是不可能的。玻尔兹曼用统计的观念，只考虑分子运动排列的几率，来对应到相关物理量的研究，是很聪明的办法，对近代物理发展及其重要。
玻尔兹曼与世长辞后，人们将玻尔兹曼公式刻在了他的墓碑上，以纪念他在热力学和统计物理学领域所作的重大贡献。
●齐奥尔科夫斯基公式
——V=VeIn（m0/m1）
公式V=VeIn（m0/m1）可在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，计算火箭在发动机工作期间获得的速度增量。式中V为速度增量，称为理想速度或特征速度，Ve为喷流相对火箭的速度，m0和m1分别为发动机工作开始和结束时火箭的质量。此公式是由齐奥尔科夫斯基首先给出的。
齐奥尔科夫斯基（1857年9月17日～1935年9月19日）是俄国科学家，现代宇宙航行学的奠基人，被称为“航天之父”。他生于俄国伊热夫斯科耶镇（今属梁赞州），逝世于卡卢加。
在人类航天历史上，有三位科学家的名字将被永远铭记，他们是：俄国的齐奥尔科夫斯基、美国的戈达德和德国的奥伯特。齐奥尔科夫斯基最先论证了利用火箭进行星际交通、制造人造地球卫星和近地轨道站的可能性，指出发展宇航和制造火箭的合理途径，找到了火箭和液体发动机结构的一系列重要工程技术解决方案，他有一句名言：“地球是人类的摇篮，但人类不可能永远被束缚在摇篮里。”
齐奥尔科夫斯基是自学成功的，他本来是中学教师，有一次在教室里向学生大谈天象奥秘，引起一位参观的物理学家的注意，从此天才被发掘，引导俄国科学界放眼太空。
他注重钻研中国古代火箭技术，请人翻译明末及清初的军事著作参考，尤其对《武备志》最感兴趣。当时中国已拥有近三十种军用火箭，“神机火龙箭”或“火龙出水”之类的武器令他着迷，他产生了更多的梦想和灵感。
1895年，齐奥尔科夫斯基写成《地球与天空的梦想》一书。在这本科幻著作中，他提出了用多节、液态火箭来脱离地球的想法。
1903年，他发表了世界上第一部喷气运动理论著作《利用喷气工具研究宇宙空间》，说明将火箭用于星际交通的可能性，并提出太空航行火箭的设计原理，提出液体推进剂火箭的构思和原理图，并推导出在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，计算火箭在发动机
工作期间获得的速度增量公式V=VeIn，后人称之为“齐奥尔科夫斯基公式”，为研究火箭和液体火箭发动机奠定了理论基础。
用齐奥尔科夫斯基公式可以近似地估计火箭需要携带的推进剂的数量以及发动机参数对理想速度的影响。请注意，如上公式是在理想状态下的推导结果，换句话说，实际过程中，在重力加速度和各种干扰力的联合作用下，通常并不是如上公式计算所得。不过，该方程在宇宙的无重力状态下，却显得相对精确，而也是其中最重要的参数，尤其在航天飞行器轨道变换中，显得格外重要。当火箭运动速度接近光速时，计算理想速度则须利用相对论原理推导得出阿克莱公式，又称广义齐奥尔科夫斯基公式。
齐奥尔科夫斯基在对火箭运动理论进行了一番研究之后，又对星际航行问题进行了研究和展望。他详细地描述了载人宇宙飞船从发射到进入轨道的全过程，内容涉及飞船起飞时的壮观景象，超重和失重对宇航员的影响，失重状态下物体的奇异表现，不同的高度看地球的迷人景观、天空的景色等。他提出了燃气涡轮发动机方案，解决了航天器在行星表面着陆的理论问题，研究大气层对火箭飞行的影响，首次探讨从火箭到人造地球卫星的诸多问题。
齐奥尔科夫斯基一生撰写了730多篇论著，他的不懈研究为人类的航天事业做出了巨大贡献。他曾对一群科学家说过，只要大家努力，俄罗斯人将第一个走出地球。他的话成为了事实。苏联在1957年发射第一颗人造卫星，揭开了太空时代的序幕；1961年送出第一位太空人盖加林，赢得了太空竞赛的第一役。美国则在1969年送阿姆斯特朗踏上月球。中国第一颗人造地球卫星“东方红一号”也于1970年发射成功。
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